§ 11. Полная свободная энергия диэлектрического тела
Полная свободная энергия
(или полная внутренняя энергия 41), как она была определена в предыдущем параграфе, включает в себя также и энергию внешнего электрического поля, поляризующего диэлектрик; это поле можно представлять себе как создаваемое определенной совокупностью проводников с заданными полными зарядами на них. Наряду с этой величиной S имеет смысл рассмотреть полную свободную энергию, из которой исключена энергия поля, которое существовало бы во всем пространстве в отсутствие тела. Обозначим напряженность последнего посредством
Тогда «полная» в указанном смысле свободная энергия равна интегралу
где F — плотность свободной энергии. Мы будем здесь обозначать эту величину той же буквой
, которой в § 10 обозначался интеграл
Следует подчеркнуть, что разница между обоими определениями
сводится к величине, не зависящей от термодинамического состояния и свойств диэлектрика, и потому вообще не отражается на основных термодинамических дифференциальных соотношениях, которые имеют место для этой величины.
Вычислим изменение
в результате бесконечно малого изменения поля, происходящего при постоянной температуре и без нарушения термодинамического равновесия среды.
Поскольку
то имеем
Это выражение можно тождественно переписать в виде
В первом интеграле пишем
— потенциал поля
и преобразуем его по частям:
Легко видеть, что оба интеграла в правой части равенства обращаются в нуль. Для объемного интеграла это следует непосредственно из уравнений
которым удовлетворяют соответственно поле в диэлектрике и поле в пустоте. Первый же интеграл берется по поверхности создающих поле проводников и по бесконечно удаленной поверхности. Последний интеграл обращается, как обычно, в нуль, а на каждом из проводников
, так что
Но поле
по определению, создается теми же источниками, что и поле Е с индукцией D (т. е. одними и теми же проводниками с заданными полными зарядами
на них). Поэтому оба интеграла
равны одной и той же величине
, а их разность равна нулю.
Аналогичным образом убеждаемся в том, что равен нулю и второй член в (11,2) (для этого подставляем в нем
и производим такое же преобразование). Окончательно получается
Замечательно, что в этом выражении интеграл берется только по объему, занятому диэлектрической средой, так как вне тела Р = 0.
Подчеркнем, однако, что подынтегральное выражение
не может быть истолковано как вариация «плотности» свободной энергии тела, подобно тому, как это было сделано в связи с формулами (10,3), (10,4). Прежде всего, эта «плотность» должна существовать и вне тела, так как его наличие искажает поле и в окружающем пространстве. Ясно также, что плотность энергии в каждой точке тела может зависеть лишь от реально сушествующего в ней поля, а не от поля, которое имелось бы здесь в отсутствие тела.
Если внешнее поле
однородно, то
где
— полный электрический дипольный момент тела. Поэтому термодинамическое тождество для свободной энергии можно написать в данном случае как
Полный электрический момент тела можно, следовательно, получить путем дифференцирования полной свободной энергии:
Отметим, что последнюю формулу можно получить и непосредственно из общей статистической формулы
где
— гамильтониан тела как системы составляющих его частиц,
— какой-либо параметр, характеризующий внешние условия, в которых находится тело (см. V (11,4), (15,11)). Для тела, находящегося во внешнем однородном поле
гамильтониан содержит член где
— оператор дипольного момента, и, выбрав
в качестве параметра К, мы получим искомую формулу.
Если D и Е связаны друг с другом линейной зависимостью
, то аналогичным путем можно вычислить в явном виде не только вариацию
но и саму
. Имеем
Это выражение тождественно переписываем в виде
Первый член в правой части равенства обращается в нуль, в чем можно убедиться, положив в нем
и произведя преобразование, вполне аналогичное произведенному выше. Поэтому получаем
В частности, в однородном внешнем поле
(11,8)
Последнее равенство можно было бы получить и путем непосредственного интегрирования соотношения (11,3), если заметить, что в силу линейности всех уравнений поля (при
) электрический момент должен быть линейной функцией
Линейную зависимость между компонентами и С? можно написать в виде
подобно тому, как это было сделано нами для проводников (§ 2). В отличие от проводников, однако, «поляризуемость» диэлектрического тела зависит не только от его формы, но и от его диэлектрической постоянной. Симметричность тензора
(упомянутая уже в § 2) непосредственно следует из соотношения (11,6); достаточно заметить, что вторая производная
не зависит от порядка дифференцирования.
Формула (11,7) еще более упрощается в важном случае, когда
близко к 1, т. е. диэлектрическая восприимчивость
мала. В этом случае при вычислении энергии можно пренебречь вызываемым наличием тела искажением поля, т. е. положить
Тогда
(11,10)
где интеграл берется по объему тела. В однородном поле дипольный момент
, а свободная энергия
(11,11)
В общем случае произвольной зависимости D от Е простые формулы (11,7) и (11,8) не имеют места. Для вычисления
здесь может быть полезной формула
вывод которой после произведенных выше вычислений очевиден. Действительно, подынтегральные выражения в обоих интегралах отличаются на величину
после подстановки
и интегрирования по всему пространству это выражение обращается в нуль.
Обратим внимание на то, что в (11,12) (как и в
) подынтегральное выражение (во втором интеграле) обращается в нуль вне тела (где
), так что интегрирование производится только по его объему.
Задача
Получить формулу, заменяющую (11,7), для тела, находящегося не в пустоте, а в среде с диэлектрической проницаемостью
Решение. Повторяя для этого случая произведенные в тексте преобразования, получим