§ 104. Естественная оптическая активность

Если пространственная дисперсия слаба, тензор можно разложить по степеням к. Для обычных конденсированных диэлектрических сред это есть разложение по степеням где а — атомные размеры, к — длина волны поля.

С точностью до членов первого порядка малости такое разложение имеет вид

(104,1)

где - некоторый тензор третьего ранга, зависящий от частоты (при ) компоненты этого тензора, не связанного с каким-либо разложением по , стремятся к постоянным значениям). Отвечающая проницаемости (104,1) связь между D и Е в монохроматическом поле в координатном представлении имеет вид

Применив к (104,1) требование симметрии (103,10), найдем (в отсутствие внешнего поля):

(104,3)

Условие же эрмитовости в отсутствие диссипации дает вместе с (104,3) отсюда находим, что Таким образом, условие отсутствия поглощения требует вещественности тензора .

Если, следуя введенным в § 97 обозначениям, представить волновой вектор плоской волны в виде выражение (104,1) запишется в виде

(104,4)

Введем вместо антисимметричного тензора второго ранга дуальный ему аксиальный вектор гирации g согласно

т. е. напишем в виде

(104,6)

формально совпадающем с использованной в § 101 формой записи. Разница заключается в , что там вектор g зависел только от свойств среды (и приложенного магнитного поля), между тем как здесь вектор гирации зависит и от волнового вектора поля. Согласно (104,5) компоненты этого вектора являются линейными функциями компонент :

(104,7)

Подставив (104,7) в (104,5), найдем

откуда ввиду произвольности

(104,8)

чем устанавливается связь между компонентами истинного тензора третьего ранга и псевдотензора второго ранга

Конкретная кристаллографическая симметрия тела накладывает определенные ограничения на компоненты тензора и, в частности, может приводить к тождественному равенству нулю всех компонент. Так, тензор не может существовать у тел, обладающих центром симметрии. Действительно, при изменении знака всех трех координат (инверсии) все компоненты тензора третьего ранга (и соответственно псевдотензора второго ранга) меняют знак, между тем как симметрия тела требовала бы их неизменности при этом преобразовании.

О телах с отличным от нуля тензором говорят, что они обладают естественной оптической активностью или естественной гиротропией. Таким образом, существование оптической активности во всяком случае требует отсутствия у тела центра симметрии.

Рассмотрим сначала естественную оптическую активность изотропных тел. Если жидкость (или газ) состоит из вещества, не имеющего стереоизомеров, то она симметрична не только по отношению к любому повороту, но и по отношению к отражению (инверсии) в любой точке, и естественная активность в ней исключена. Оптически активными являются лишь жидкости из веществ с двумя етереоизомерными формами, причем оба изомера должны содержаться в жидкости в различных количествах; такая жидкость не обладает центром симметрии.

В изотропном теле (а также в кристаллах с кубической симметрией) псевдотензор сводится к псевдоскаляру:

(104,9)

Псевдоскаляр есть величина, меняющая знак при инверсии координат. Два стереоизомерных вещества формально переходят друг в друга в результате операции инверсии; поэтому их значения величины f имеют противоположные знаки.

Таким образом, у оптически активного изотропного тела вектор гирации и связь между индукцией и напряженностью электрического поля волны дается формулой

(104,10)

Так как то отсюда следует, что и Другими словами, в такой волне поперечна (по отношению к направлению ) не только индукция D, как во всякой среде, но и напряженность Е.

Изменение показателя преломления при учете естественной активности вещества является малой величиной. Поэтому при ее определении можно положить в малом члене . Тогда задача о вычислении разности формально совпадает с рассмотренной в § 101 задачей об изменении под влиянием магнитного поля, отличаясь от нее лишь смыслом вектора g и тем, что он всегда параллелен направлению (ось в § 101). Поэтому по аналогии с формулой (101,19) мы можем сразу написать

(104,11)

Этим двум значениям соответствуют (ср. (101,21)) следующие отношения обеих компонент вектора Е (или ):

(104,12)

т. е. круговая левая и правая поляризация волн. Отметим также, что величина вектора не зависит от его направления; поэтому направления и лучевого вектора s совпадают.

Таким образом, мы видим, что оптические свойства естественно активного изотропного тела имеют сходство со свойствами, приобретаемыми неактивным телом в магнитном поле: оно обладает двойным круговым преломление, а при распространении в нем линейно поляризованной волны происходит вращение ее плоскости поляризации. Угол вращения на единицу длины пути луча равен .

У двух стереоизомерных модификаций вещества знак постоянной , а с нею и направления вращения, противоположен; в связи с этим говорят о право и левовращающих стерсоизомерах.

В отличие от вращения плоскости поляризации в магнитном поле, в естественно-активных веществах величина и знак вращения не зависят от направления распространения луча. Поэтому, если линейно поляризованный световой луч проходит дважды — туда и обратно — один и тот же путь в естественно-активной среде, то в результате он окажется поляризованным в первоначальной плоскости.

Перейдем к естественно-активным кристаллам. Не входя здесь в систематический разбор всех возможных случаев симметрии (см. задачу к этому параграфу), отметим, что естественная активность исключается наличием центра симметрии, но она возможна при существовании плоскости симметрии или зеркально-поворотной оси. Подчеркнем, что условия существования естественной активности у кристаллов не совпадают, следовательно, с условиями, допускающими существование кристаллов в двух зеркальноизомерных (энантиоморфных) формах; последние являются более жесткими и требуют отсутствия не только центра, но и плоскостей симметрии. Таким образом, кристалл может быть оптически активным и в то же время совпадать со своим зеркальным изображением.

В естественно-активном кристалле (одно- или двухосном) при распространении света с произвольным направлением волнового вектора мы имеем дело практически с обычным двойным преломлением линейно поляризованных волн; учет активности сводится в основном к замене строго линейной поляризации на эллиптическую с малым (первого порядка малости) отношением осей.

Исключение составляют лишь направления оптических осей, вдоль которых, без учета активности, оба корня уравнения Френеля совпадают. В этих направлениях явление естественной активности кристаллов аналогично активности изотропных тел: имеет место двойное круговое преломление первого порядка и соответственное вращение плоскости поляризации линейно поляризованных волн. При отклонении волнового вектора от направления оптической оси эти явления быстро спадают.

Для количественного расчета явлений естественной активности в кристаллах удобнее пользоваться не выражением D через Е, а обратными формулами, выражающими Е через D (как мы это делали и в § 101). С точностью до величин первого порядка эти формулы гласят:

(104,13)

где вектор G связан с ранее введенным вектором g посредством

(см. (101,9)).

Ввиду формального совпадения этого выражения с выражением (101,7) остаются без изменения также и уравнения (101,11-12). В этих уравнениях есть проекция вектора G на направление . Если представить G в виде

(104,14)

(аналогичном (104,7)), то эта проекция пропорциональна

(104,15)

Этой квадратичной формой определяются оптические свойства естественно-активного кристалла. Сам по себе тензор не должен обязательно быть симметричным, но если разделить его на симметричную и антисимметричную части, то при образовании формы (104,15) антисимметричная часть выпадает. Поэтому при исследовании оптических свойств естественно-активный кристаллов можно считать тензор симметричным.