Задачи

1. Найти общий вид поляризационной зависимости рассеяния в изотропной среде с учетом передаваемого среде импульса q (Б. Я. Зельдович, 1972).

Решение. Задача сводится к нахождению всех независимых тензорных четвертого ранга комбинаций, обладающих симметрией тензора которые можно составить из единичного тензора единичного антисимметричного тензора и компонент вектора они должны быть симметричны по каждой из пар индексов и и инвариантны по отношению к перестановке пары с парой (эквивалентной перестановке точек и тем самым изменению знака ) при одновременном изменении знака v. Этим требованиям удовлетворяют комбинации:

(в 4), 6), 7) опущено по три члена, получающихся симметризацией написанного члена). Совокупности этих комбинаций отвечает угловое распределение вида

( — вещественные функции и q).

В среде, допускающей инверсию, имеются только первые пять членов (первые два из них эквивалентны первым двум членам в ). В среде без центра инверсии существуют также и два последних члена; они, однако, обращаются в нуль, если обе поляризации — линейные. Если пренебречь в q разницей в частотах , то будет где . В этом приближении член с обращается тождественно в нуль (убедиться в этом можно путем довольно длинного вычисления, разложив каждый из векторов на две компоненты в плоскости рассеяния и перпендикулярную к ней).

2. Определить излучение при движении быстрой частицы с досветовой скоростью в рассеивающей свет среде (С. П. Капица, 1960).

Решение. Излучение в этом случае можно рассматривать как рассеяние поля частицы на флуктуациях диэлектрической проницаемости среды. Запишем энергию, излучаемую в единицу времени из единицы объема, для монохроматического рассеиваемого лоля как

из — коэффициент экстинкции света). В таком виде эта формула годится для поля Е любого происхождения.

Поле движущейся частицы имеет непрерывный частотный спектр. Поэтому, чтобы получить излучение в интервале частот (из единицы объема, но за полное время пролета), надо заменить

(см. II § 66), где - временная фурье-компонента поля. Интегрируя по объему, получим спектральное распределение полного излучения:

Для применимости этой формулы нужно, чтобы поле мало менялось на атомных расстояниях, точнее на радиусе корреляции флуктуаций проницаемости в среды. Кроме того, для пренебрежения сдвигом частоты при рассеянии скорость молекул среды должна быть мала по сравнению со скоростью частицы с.

Поле движущейся частицы дается формулами (114,7-8). Имеем

Но частота поля при движении частицы есть Поэтому так что

причем Отсюда

Интеграл дает просю длину пути частицы I, а интеграл по — -функцию . Таким образом,

В этом интеграле существенна область сравнительно больших значений

(а — атомные размеры).

Действительно, в этой области выражение для сводится к

и интеграл логарифмически расходится. С логарифмической точностью интеграл следует обрезать на пределах, отвечающих границам указанной области. В результате получим следующее окончательное выражение для спектрального распределения интенсивности излучения с единицы пути:

с коэффициентом экстинкции из (119,5).

Рассмотренное излучение аналогично переходному в том смысле, что не зависит от массы частицы. При сопоставимых значениях скорости (находящихся, однако, по разные стороны от граничного значения интенсивность этого излучения мала по сравнению с интенсивностью черенковского излучения. Так, для газов при , сравнив выражения (1) и (115,3), в грубой оценке находим, что

где d — межмолекулярные расстояния; (для h использовано выражение (120,4), в котором положено где - поляризуемость молекулы). Оценку для жидкости можно получить, положив ; тогда .