§ 62. Емкость в цепи квазистационарного тока

В отличие от постоянного тока переменный ток может течь не только в замкнутой, но и в разомкнутой цепи. Рассмотрим линейный контур, концы которого присоединены к обкладкам конденсатора, находящимся на малом расстоянии друг от друга. При распространении по контуру переменного тока обкладки конденсатора будут периодически заряжаться и разряжаться, тем самым играя роль «источников» и «стоков» тока в разомкнутой цепи.

Ввиду малости расстояния между обкладками конденсатора магнитную энергию тока можно по-прежнему положить равной , где - самоиндукция замкнутого контура, который получился бы из данного путем соединения обкладок коротким отрезком провода. После этого единственное изменение в уравнении (61,4) будет состоять в добавлении к падению напряжения на сопротивлении, , разности потенциалов на обкладках конденсатора: где С — емкость конденсатора, — заряды на его обкладках. Таким образом,

Но сила тока J равна убыли заряда одной или приращению заряда другой обкладки:

Выразив в уравнении J через , получим

Это и есть искомое уравнение для переменного тока в цепи с емкостью.

Если — периодическая функция времени с частотой , то уравнение (62,1) сводится к алгебраическому соотношению между и зарядом , или, что то же, между и током . Именно, имеем , где импеданс Z определяется согласно

Отделив в соотношении вещественную часть, получим

чем определяется сила тока в цепи с приложенной извне электродвижущей силой .

Если же , то ток в цепи представляет собой свободные электрические колебания. Частота (комплексная) этих колебаний определяется условием , откуда

В зависимости от знака подкоренного выражения мы будем иметь затухающие (с декрементом ) колебания или же чисто апериодически затухающий разряд. В предельном случае имеем незатухающие колебания с частотой, выражающейся формулой Томсона:

(W. Thomson, 1853).

Уравнение (62,1) непосредственно обобщается на систему нескольких индуктивно связанных контуров с конденсаторами. Ток контуре связан с зарядами на обкладках соответствующего конденсатора посредством

а вместо (62,1) имеем систему уравнений

Для периодических (монохроматических) токов эти уравнения сводятся к алгебраической системе

причем элементы матрицы даются формулами

Собственные частоты системы токов даются условием совместности уравнений (62,7) при , т. е. условием равенства нулю определителя:

Если сопротивления R отличны от нуля, то все «частоты» имеют мнимую часть, т. е. электрические колебания затухают.

Обратим внимание на то, что уравнения (62,6) формально совпадают с механическими уравнениями движения системы с несколькими степенями свободы, совершающей затухающие малые колебания. При этом роль обобщенных координат играют заряды , роль обобщенных скоростей токи . Функция Лагранжа системы есть

Роль кинетической и потенциальной энергии механической системы играют в ней соответственно магнитная и электрическая энергии системы токов, а величины соответствуют приложенным извне силам, производящим вынужденные колебания системы. Величины же входят в диссипативную функцию

(62,11)

Уравнения (62,6) совпадают с уравнениями Лагранжа

(62,12)