ГЛАВА XIII. НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА

§ 107. Преобразование частот в нелинейных средах

Изложенная в предыдущих главах теория распространения электромагнитных волн в диэлектрических средах основана на предположении о линейной связи индукции электрического поля D с его напряженностью Е. Это приближение справедливо с достаточной точностью, если (как это фактически имеет место) напряженность Е мала по сравнению со значениями, характерными для внутриатомных полей. Но даже в этих условиях существующие малые нелинейные поправки в зависимости D (Е) приводят к качественно новым эффектам и потому могут быть существенны.

Наиболее важной особенностью нелинейной среды является генерация в ней колебаний с новыми частотами. Так, если на такую среду падает монохроматическая волна с частотой о, то по мере ее распространения в среде генерируются волны с частотами (где — целые числа); если первоначально имеется совокупность монохроматических сигналов с частотами , то с течением времени возникнут также и комбинационные частоты и т. п.

Если среда бездиссипативна, то процесс преобразования частот подчиняется некоторым весьма общим соотношениям — помимо очевидного условия сохранения суммарной энергии колебаний на всех частотах. При этом предполагается, что нелинейность является слабой; смысл понятия этой слабости будет уточнен ниже.

Происхождение и смысл искомых соотношений наиболее ясен с квантовой точки зрения, из которой мы и будем исходить. Для упрощения рассуждений будем считать, что все частоты системы можно представить как линейные комбинации двух несоизмеримых основных частот

(107,1)

где — положительные или отрицательные целые числа.

Полную энергию излучения в среде можно представить как сумму энергий всех квантов:

где — число квантов с частотой . Суммирование производится по всем числам , для которых (поскольку физическим смыслом обладают, конечно, только положительные частоты).

Процессы преобразования частот приводят к изменению чисел со временем при сохранении полной энергии. Поэтому

Но ввиду предположенной несоизмеримости и целочисленности чисел квантов и их изменений это равенство требует обращения в нуль каждой из двух сумм в отдельности:

(107,2)

Введем вместо чисел квантов соответствующие интенсивности — полные энергии заключенные в излучении соответствующих частот:

(107,3)

Тогда соотношения (107,2) примут вид

(107,4)

Здесь надо отметить обстоятельство, особенно ясное с точки зрения классической картины колебаний. Говоря об изменении со временем, мы имеем в виду только систематический ход этого изменения; другими словами, рассматривается энергия, усредненная по интервалам времени, большим по сравнению с периодами (что и отмечено чертой над ). Именно здесь требуется слабость нелинейных эффектов: характерное время вызванного ими систематического нарастания возбуждающихся колебаний должно быть велико по сравнению с указанными периодами. Только в таких условиях может иметь смысл рассмотрение временного хода величин, усредненных по интервалам , таким, что

Равенства (107,4) и представляют собой искомые соотношения; они известны как теорема Мэнли — Роу (J. М. Manley, Н. Е. Rowe, 1956) 2). Остается придать им более определенный вид, избавившись от ограничения при суммированиях. Это легко сделать, заметив, что каждой паре чисел , для которой отвечает пара чисел — , для которой частота отрицательна при том же

Положив по определению

(107,5)

и распространив суммирование по всем целым числам от до мы, следовательно, удвоим суммы, что не нарушит их равенства нулю. После этого можно произвести еще одно упрощение. В первом равенстве (107,4) разбиваем сумму по на две суммы от 0 до и от до 0, и во второй заменяем ; аналогичное преобразование во втором равенстве (107,4) производим в сумме по п. В результате получим окончательно:

Обобщение теоремы на случай большего числа исходных несоизмеримых частот очевидно.

Конкретные свойства колебательной системы могут запрещать те или иные процессы преобразования частот. Суммирования в (107,6) производятся фактически лишь по разрешенным процессам.

Так, в простейшем случае системы, допускающей лишь генерирование комбинационной частоты числа пробегают значения 0, 1 и мы находим

Смысл этих равенств очевиден: убыль чисел квантов равна прибыли числа генерируемых квантов .