Задачи

1. Найти закон преобразования скорости распространения света в среде (групповой скорости) при преобразовании системы отсчета.

Решение. По определению групповой скорости и,

величины со штрихом относятся к системе отсчета движущейся со скоростью v относительно системы К (величины без штриха). Согласно формулам преобразования Лоренца для волнового -вектора имеем

где (оси — в направлении v). Из формулы но второй строке имеем

Подставив, сюда выраженное через и формул первой строки и собрав вместе члены с , получим

Сравнив с — и найдем, что скорости складываются в и по обычным релятивистским формулам сложения скоростей - как это и следовало ожидать.

2. Определить скорость распространения света в движущейся (относительно наблюдателя) среде.

Решение. Пусть — частота и волновой вектор световой волны в неподвижной системе отсчета К, а — те же величины в системе , движущемся относительно К вместе с жидкостью со скоростью v. В системе жидкость неподвижна, и потому связаны соотношением

Согласно формулам преобразования Лоренца для волнового 4-вектора, имеем, с точностью до членов первого порядка по :

. Подставив эти выражения в (I) и разложив функцию по степеням v, получим с той же точностью:

Скорость распространения (групповая скорость) в неподвижной среде получается дифференцированием соотношения и равна

В движущейся среде она получается дифференцированием соотношения (2), которое предварительно переписываем в виде

Снова с точностью до членов первого порядка находим

При распространении света в направлении движения среды имеем отсюда

Первые два члена могут быть получены просто путем применения релятивистской формулы сложения скоростей. Если же v и I взаимно перпендикулярны:

Фазовая скорость волны получается из (2) в виде

При эффект первого порядка в ней отсутствует.