§ 31. Термодинамические соотношения в магнитном поле

Термодинамические соотношения для магнетика в магнитном поле в своей окончательной форме, как мы увидим, весьма сходны с аналогичными соотношениями для диэлектрика в электрическом поле. Их вывод, однако, существенным образом отличается от того, который был произведен в § 10. Это отличие связано, в конечном итоге, с тем, что магнитное поле, в противоположность электрическому, не производит работы над движущимися в нем зарядами (так как действующая на заряд сила перпендикулярна к его скорости). Поэтому для вычисления изменения энергии среды при включении магнитного поля надо рассматривать электрические поля, индуцирующиеся при изменении магнитного поля, и определять работу, производимую ими над токами (источниками магнитного поля).

Таким образом, необходимо привлечь уравнение, определяющее связь между электрическим и переменным магнитным полями. Это уравнение,

является непосредственным результатом усреднения микроскопического уравнения (1,3).

В течение времени поле Е производит над токами j работу, равную

Эта же величина, взятая с обратным знаком, есть работа произведенная «над полем» со стороны той внешней электродвижущей силы, которая является источником, поддерживающим протекание токов. Подставив получим

Первый интеграл, будучи преобразован в интеграл по бесконечно удаленной поверхности, обращается в нуль. Во втором же подставляем из (31,1) и, вводя изменение магнитной индукции, получаем окончательно

Эта формула по виду вполне аналогична выражению (10,2) для работы при бесконечно малом изменении электрического поля. Следует, однако, заметить, что физическая аналогия между этими двумя формулами в действительности не так глубока, поскольку Н, в противоположность Е, не есть среднее значение истинной микроскопической напряженности поля.

После получения формулы (31,2) все термодинамические соотношения для магнетика в магнитном поле могут быть написаны аналогично тому, как были написаны в § 10 соотношения для диэлектрика в электрическом поле; достаточно заменить в них обозначения Е и D соответственно на Н и В. Выпишем здесь для дальнейших ссылок некоторые из этих формул. Для дифференциалов полных свободной и внутренней энергий имеем:

(31,3)

а для этих же величин, отнесенных к единице объема:

Наряду с F, U нам понадобятся также термодинамические потенциалы

для которых

При линейной связи можно написать выражения для всех величин в конечном виде:

Работу (или, что то же, изменение при постоянной температуре) можно выразить в другом виде, через плотность токов и векторный потенциал магнитного поля. Для этого полагаем и пишем

Первый интеграл снова обращается в нуль, а второй дает

Аналогичным преобразованием можно получить

Полезно отметить, что в математическом формализме макроскопической электродинамики токи — источники магнитного поля — играют роль, аналогичную роли потенциалов (а не зарядов) источников электрического поля. Это правило ясно проявляется при сопоставлении формул (31,8) и (31,9) с аналогичными формулами в электрическом поле

(31,10)

(см. (10,13), (10,14)). Мы видим, что заряды и потенциалы расположены в этих формулах обратным образом по сравнению с токами и потенциалами в формулах (31,8), (31,9).

Ввиду полного формального совпадения термодинамических соотношений (выраженных через напряженность и индукцию) в электрическом и магнитном полях непосредственно переносятся на магнитное поле также и полученные в § 18 термодинамические неравенства. Мы видели, в частности, что из них следует неравенство е > 0. В электрическом случае это неравенство не представляло интереса, поскольку оно слабее условия е> 1, следовавшего из других соображений. Но в магнитном случае аналогичное неравенство

весьма существенно, так как оно является единственным ограничением, накладываемым на возможные значения магнитной проницаемости.