Задачи

1. Определить магнитную поляризуемость изотропного проводящего шара радиуса а в однородном периодическом внешнем поле.

Решение. Поле внутри шара удовлетворяет уравнениям

Ищем его в виде , причем А удовлетворяет уравнению поскольку Н — аксиальный, то А — полярный вектор. Ввиду симметрии шара единственным постоянным вектором, от которого может зависеть искомое решение, является напряженность внешнего поля Обозначим посредством сферически симметричное решение скалярного уравнения

Тогда полярный вектор А, удовлетворяющий векторному уравнению и зависящий линейно от аксиального постоянного вектора можно написать в виде

(Р — постоянная). Таким образом, ищем в виде

где — единичный вектор в направлении (вторая производная исключена с помощью уравнения ).

Поле вне шара удовлетворяет уравнениям Ищем его в виде причем удовлетворяет уравнению а на бесконечности обращается в нуль. Такая функция зависящая линейно от постоянного вектора имеет вид

Таким образом, ищем в виде

Очевидно, что есть магнитный момент шара, так что его магнитная поляризуемость (в силу симметрии шара тензор а, сводится к скаляру:

На поверхности шара непрерывны все компоненты Н. Приравняв отдельно компоненты, параллельные и перпендикулярные к , получим два уравнения для определения . Для интересующей нас поляризуемости (отнесенной к единице объема) получается:

В предельном случае малых частот )

Для больших же частот ()

Предельное значение соответствует магнитному моменту сверхпроводящего шара, а значение можно было бы найти с помощью формулы (59,10), воспользовавшись формулой (54,3) для поля у поверхности сверхпроводящего шара.

Напомним, что внешнее поле предполагается записанным в комплексном виде с произвольным постоянным комплексным вектором . Тем самым в рассмотрение включены как «линейно поляризованное» переменное поле с постоянным направлением, так и эллиптически или циркулярно поляризованные поля, вращающиеся в некоторой плоскости.

2. То же для проводящего цилиндра (радиуса а) в однородном периодическом магнитном поле, перпендикулярном к его оси.

Решение. Задача является «двумерным аналогом» задачи 1; ниже все векторные операции являются двумерными операциями в плоскости, перпендикулярной к оси цилиндра, а есть радиус-вектор в этой плоскости. Поле внутри цилиндра ищем в виде

где — симметричное решение двумерного уравнения конечное при Поле же вне цилиндра ищем как

. Магнитный момент единицы длины цилиндра есть (см. задачу 2 § 3). Из условия при , как и в задаче 1, получим

(использовано соотношение )

При разлагая функции Бесселя по степеням получим

При используем асимптотические выражения функций Бесселя и находим

3. То же для цилиндра в магнитном поле, параллельном его оси. Решение. Магнитное поле параллельно оси цилиндра во всем пространстве. Вне цилиндра внутри , где — симметричное решение двумерного уравнения обращающееся в 1 при :

Токи Фуко в цилиндре циркулярны (т. е. j имеет в цилиндрических координатах только компоненту ) и определяются по полю согласно

Магнитный момент единицы длины цилиндра создаваемый токами проводимости, направлен вдоль его оси и равен

Вычислив интеграл, получим

Таким образом, продольная поляризуемость цилиндра в два раза меньше поперечной поляризуемости, найденной в задаче 2.

4. Определить наименьший из коэффициентов затухания магнитного поля в проводящем шаре.

Решение. Среди решений уравнений (58,10) для шара имеются функции различной симметрии. Наиболее симметричным было бы решение, определяющееся заданием произвольного постоянного скаляра. Оно, однако, не может существовать по следующей причине. Такое решение было бы сферически-симметричным: и в силу уравнения

(которое справедливо как вне, так и внутри шара) было бы . Но эта функция не удовлетворяет условию конечности в центре шара.

Наименьшему значению у соответствует одно из решений, определяющихся заданием произвольного постоянного вектора. Вид этих решений совпадает, очевидно, с найденным в задаче 1, с той лишь разницей, что в поле надо опустить постоянный член, так как на бесконечности должно быть Н = 0. При этом k есть теперь вещественная величина , а вектор Н играет роль произвольного псстоянного вектсра. Из граничного условия при получаем два уравнения, исключая из которых , найдем Наименьший отличный от нуля корень этого уравнения есть , так что наименьшее значение есть

5. Плоская поверхность одноосного металлического кристалла вырезана таким образом, что нормаль к ней образует угол с главной осью симметрии кристалла. Определить поверхностный импеданс с учетом термоэлектрического эффекта (М. И. Каганов, В. М. Цукерник, 1958).

Решение. Выбираем поверхность кристалла в качестве плоскости ось — внутренняя нормаль к поверхности, и пусть главная ось симметрии кристалла расположена в плоскости под углом к оси .

Магнитное поле у поверхности кристалла пусть направлено вдоль оси тогда и везде внутри металла оно направлено так же. Учитывая, что все величины зависят только от координаты (и от времени ), находим, что уравнения Максвелла (58,1), (58,4) принимают вид

а также откуда (штрих означает дифференцирование по ). Для учета термоэлектрического эффекта сюда надо добавить уравнение теплопроводности или

где — переменная добавка к средней температуре (), С — теплоемкость единицы объема металла, — плотность теплового потока; j и q связаны с полем Е и градиентом температуры соотношениями (26,12).

Тензоры симметричны; будем считать, что симметрия кристалла такова, что и тензор симметричен. При сделанном выборе осей имеем

где — главные значения тензора рвдоль оси кристалла и в перпендикулярной к ней плоскости; аналогичные формулы имеют место для тензоров . С этими тензорами имеем из (26,12):

(4)

Исключив Ну из уравнений (1—3), получим

где введено обозначение и параметры

Решение этой системы двух уравнений для полупространства занятого металлом:

где

причем мнимые части должны быть положительными.

Связь между коэффициентами А и В устанавливается из граничных условий для температуры, а формула (4) определяет поле в металле (напомним, что непрерывность нормальной компоненты поля Е на поверхности проводника не требуется). Для поверхностного импеданса имеем, согласно определению (59,7а):

Приведем окончательные выражения импеданса в предположении (как это фактически имеет место для обычных металлов) в двух случаях: при граничном условии (изотермическая граница):

при граничном условии (адиабатическая граница):

причем — импеданс без учета термоэлектрического эффекта. Параметр , а с ним и поправка в импедансе обращаются в нуль при , т. е. когда главная ось кристалла лежит в плоскости его поверхности или перпендикулярна к ней.

Если поле Н направлено по оси , то и градиент температуры не возникает. Поэтому