Задача

На границу полупространства заполненного прозрачной средой (с падает в нормальном направлении плоская электромагнитная волна с резко обрывающимся передним фронтом. Определить структуру фронта волны, прошедшей внутрь среды (A. Sommerfeld, L. Brillouin, 1914).

Решение. Пусть волна падает на границу среды в момент , так что при х = 0 поле падающей волны (Е или Н)

Разлагая это поле в интеграл Фурье по времени, сведем задачу к падению бесконечно протяженных волн различной частоты на ту же границу. Амплитуда компоненты Фурье с частотой пропорциональна

При падении волны с частотой прошедшая в среду волна имеет вид

где амплитуда — медленно меняющаяся функция частоты. Поэтому в данном случае поле волны в среде

В области вблизи фронта волны в этом интервале играют роль значения , близкие к . Введя новую переменную — заменим на показатель разлагаем по степеням Опуская все несущественные постоянные и фазовые множители, получим

где — скорость распространения (53,10), а Произведя интегрирование по легко привести Е к следующему виду:

(знак в показателе зависит от знака ). Интенсивность же волны вблизи ее фронта распределена по закону

Эта формула по виду совпадает с формулой, определяющей распределение интенсивности вблизи края тени при дифракции Френеля (см. II § 60). При интенсивность монотонно падает с увеличением w, а при совершает осцилляции с убывающей амплитудой вокруг постоянного значения, к которому стремится при .

На больших расстояниях впереди рассмотренного фронта ему предшествуют так называемые «предвестники», распространяющиеся со скоростью с. Они соответствуют компонентам Фурье с большими частотами, для которых