ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВЫХ ЛУЧЕЙ В КРИСТАЛЛАХ

§ 124. Общая теория дифракции рентгеновых лучей

Явление дифракции рентгеновых лучей в кристаллах занимает особое место в электродинамике материальных сред, так как их длина волны сравнима с междуатомными расстояниями. По этой причине обычный макроскопический подход к веществу как сплошной среде здесь совершенно неприменим, и мы должны исходить из рассмотрения рассеяния на отдельных заряженных частицах (электронах).

Частоты движения электронов в атоме порядка величины , где — их скорость, а — атомные размеры. Если , то ввиду эти частоты малы по сравнению с частотой рентгеновых лучей . Это обстоятельство позволяет написать уравнение движения электрона в поле электромагнитной волны в виде

(124,1)

т. е. рассматривать электроны как свободные (см. § 78).

Из уравнения (124,1) находим для скорости, приобретаемой электроном под влиянием поля волны:

Обозначим посредством плотность числа электронов в кристалле, усредненную по квантовомеханическому электронному состоянию и по статистическому распределению теплового движения ядер в решетке. Подчеркнем, однако, что здесь не производится обычного в макроскопической теории усреднения по физически бесконечно малым элементам объема, т. е. есть истинная квантовомеханическая электронная плотность в кристаллической решетке. Соответствующая плотность тока, создаваемого полем волны, есть

(124,2)

Введем этот ток в микроскопические уравнения Максвелла:

(124,3)

Тем самым мы учтем его обратное влияние на поле, т. е. эффект рассеяния. При этом, разумеется, предполагается, что этот эффект мал, т. е. что справедливо неравенство

(124,5)

Путем введения обозначения где

(124,6)

соответствующего обычному определению индукции, уравнение (124,4) приводится к обычному виду . В этом смысле выражение (124,6) для диэлектрической проницаемости (ср. (78,1)) может применяться и при длинах волн При этом, разумеется, следует помнить, что буквальный смысл фигурирующих здесь величин Е, D не совпадает с прежним, поскольку они относятся к полю, не усредненному по физически бесконечно малым объемам. Соответственно, является теперь функцией координат.

При рассеянии рентгеновых лучей на тяжелых атомах может иметь место случай, когда условие выполняется для внешних электронных оболочек и в то же время не выполняется для внутренних электронов, для которых и соответственно справедливо неравенство . В таком случае тоже может быть введено понятие о диэлектрической проницаемости (как коэффициенте пропорциональности между D и Е), но формулой вида (124,6) определяется при этом лишь вклад в нее со стороны внешних электронов. Вклад же внутренних электронов должен, в принципе, вычисляться путем усреднения по объему этих оболочек. Таким образом, если писать в общем виде с зависящей от координат , мы автоматически учтем все возможные случаи. Для определенности мы будем пользоваться ниже везде выражением (124,6).

Произведя в (124,2) усреднение электронной плотности и получив в результате не зависящую от времени функцию , мы тем самым исключаем возможное изменение частоты при рассеянии. Другими словами, мы рассматриваем строго когерентное рассеяние без изменения частоты.

Исключив Н из двух уравнений (124,3) и , получим

Подставим сюда

и раскроем выражение , учитывая, что (как это следует из ).

Тогда получим

(124,7)

В правой части этого уравнения, уже содержащей малую величину следует понимать под Е заданное поле падающей волны. Найдем решение уравнения (124,7) в пространстве вне рассеивающего кристалла на больших расстояниях от него. Поскольку это уравнение совпадает по форме с уравнением (117,3), то мы можем сразу написать искомое решение по аналогии с (117,4):

(124,8)

Здесь - расстояние от начала координат, расположенного внутри кристалла, до точки наблюдения поля; — амплитуда падающей волны; в левой стороне равенства мы пишем Е вместо D, так как в пустоте вне тела D = E.

Для характеристики интенсивности дифракции рентгеновых лучей введем эффективное сечение (или просто сечение) о, определяемое как отношение интенсивности излучения, дифрагировавшего в телесный угол к плотности потока энергии в падающей волне. Согласно (124,8) имеем

(124,9)

где - угол между . Если падающие лучи «естественны» (а не поляризованы), то множитель в этой формуле заменяется на , где - угол между (см. примечание на стр. 570):

(124,10)

Ниже мы будем, для определенности, предполагать везде именно этот случай.

Мы видим, что интенсивность лучей, дифрагировавших в заданном направлении, в основном определяется квадратом модуля интеграла

(124,11)

т. е. пространственной компоненты Фурье электронной плотности. При этот интеграл сводится просто к усредненной по объему кристалла (т. е. по его элементарной ячейке) электронной плотности .

Но если в уравнениях (124,3-4) заменить на , то мы получим обычные макроскопические уравнения Максвелла с диэлектрической проницаемостью

Согласно этим уравнениям при прохождении рентгеновых лучей через кристалл произойдет их преломление по обычным законам (с показателем преломления ). Таким образом, дифракция на малые углы сводится к не интересующему нас здесь обычному преломлению. Ниже мы будем везде подразумевать, что q заметно отлично от нуля.

Электронная плотность (как и всякая другая функция точки в кристаллической решетке) может быть разложена в ряд Фурье вида

(124,12)

где суммирование производится по всем периодам b обратной решетки (см. V § 133). При подстановке (124,12) в (124,11) и интегрировании по объему кристалла заметно отличный от нуля результат получается лишь при значениях q, близких к какому-либо из b. В промежутках же между этими значениями интенсивность практически равна нулю. В связи с этим можно рассматривать каждый из дифракционных максимумов отдельно, полагая при этом с заданным значением b. Подставив это выражение в (124,10), получим

Наиболее интенсивные максимумы возникают в направлениях, в которых выполняется точное равенство

(124,14)

(уравнение эти максимумы называют главными. При заданном b главный максимум может, однако, осуществляться отнюдь не при произвольном направлении (и частоте) падающих лучей. Написав равенство (124,14) в виде возведя его в квадрат и учитывая, что получим

(124,15)

Этим уравнением определяются те значения волнового вектора к, для которых возможны главные максимумы с заданным значением b. Геометрически (124,15) есть уравнение плоскости в -пространстве, перпендикулярной к вектору b и расположенной на расстоянии от начала координат.

Мы видим, в частности, что непременно должно быть Поскольку , то из (124,14) следует, что

(124,16)

чем определяется угол дифракции в главном максимуме (уравнение Брэгга—Вульфа).

Как известно, каждый вектор b обратной решетки определяет семейство кристаллических плоскостей по уравнениям , где числот пробегает целые значения. Эти плоскости перпендикулярны к направлению вектора b, и по отношению к ним векторы и (отвечающие условию (124,14)) направлены под одинаковыми углами «падения» и «отражения» (рис. 64). В связи с этим о дифракции в главном максимуме иногда говорят как об отражении от соответствующих кристаллических плоскостей.

Рис. 64.

Полная интенсивность дифракционного пятна вблизи какого-либо максимума получается интегрированием (124,13) по телесным углам вблизи соответствующего направления k. Определим полную интенсивность вблизи главного максимума.

Обозначим посредством значение k, соответствующее точному выполнению условия Лауэ (при заданном k): . Введем также . В области вблизи максимума мало, а поскольку k и различаются только направлением, то Поэтому элемент телесного угла можно написать в виде

(124,17)

где ось z выбрана в направлении . Таким образом, имеем

В объемном интеграле можно произвести интегрирование по поскольку от этой координаты не зависит:

где — длина тела в направлении .

Наконец, воспользуемся известной формулой теории интегралов Фурье:

(124,18)

где

— компоненты двумерного разложения Фурье. В результате получим следующую окончательную формулу:

Стоящий здесь интеграл порядка величины , где L — линейные размеры тела. Таким образом, полное сечение дифракции (или, что то же, полная интенсивность пятна) пропорционально , где - объем тела. Отметим, что интенсивность в самом максимуме пропорциональна другой степени объема: при интеграл в (124,13) есть просто V, так что пропорционально :

Тот факт, что интенсивность в максимуме пропорциональна более высокой степени , чем полная интенсивность, наглядно иллюстрирует резкость максимума. Ширина последнего пропорциональна, очевидно,

Развиваемая здесь теория применима лишь при условии, что весь эффект дифракции мал. Это требование налагает, как мы теперь видим, определенное условие на размеры кристалла. Именно, а должно быть мало по сравнению с геометрической площадью сечения тела , откуда

(124.21)

Если это условие нарушается, то становится неприменимым использованное при выводе (124,8) приближение теории возмущений.