Главная > Теоретическая физика. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВЫХ ЛУЧЕЙ В КРИСТАЛЛАХ

§ 124. Общая теория дифракции рентгеновых лучей

Явление дифракции рентгеновых лучей в кристаллах занимает особое место в электродинамике материальных сред, так как их длина волны сравнима с междуатомными расстояниями. По этой причине обычный макроскопический подход к веществу как сплошной среде здесь совершенно неприменим, и мы должны исходить из рассмотрения рассеяния на отдельных заряженных частицах (электронах).

Частоты движения электронов в атоме порядка величины , где — их скорость, а — атомные размеры. Если , то ввиду эти частоты малы по сравнению с частотой рентгеновых лучей . Это обстоятельство позволяет написать уравнение движения электрона в поле электромагнитной волны в виде

(124,1)

т. е. рассматривать электроны как свободные (см. § 78).

Из уравнения (124,1) находим для скорости, приобретаемой электроном под влиянием поля волны:

Обозначим посредством плотность числа электронов в кристалле, усредненную по квантовомеханическому электронному состоянию и по статистическому распределению теплового движения ядер в решетке. Подчеркнем, однако, что здесь не производится обычного в макроскопической теории усреднения по физически бесконечно малым элементам объема, т. е. есть истинная квантовомеханическая электронная плотность в кристаллической решетке. Соответствующая плотность тока, создаваемого полем волны, есть

(124,2)

Введем этот ток в микроскопические уравнения Максвелла:

(124,3)

Тем самым мы учтем его обратное влияние на поле, т. е. эффект рассеяния. При этом, разумеется, предполагается, что этот эффект мал, т. е. что справедливо неравенство

(124,5)

Путем введения обозначения где

(124,6)

соответствующего обычному определению индукции, уравнение (124,4) приводится к обычному виду . В этом смысле выражение (124,6) для диэлектрической проницаемости (ср. (78,1)) может применяться и при длинах волн При этом, разумеется, следует помнить, что буквальный смысл фигурирующих здесь величин Е, D не совпадает с прежним, поскольку они относятся к полю, не усредненному по физически бесконечно малым объемам. Соответственно, является теперь функцией координат.

При рассеянии рентгеновых лучей на тяжелых атомах может иметь место случай, когда условие выполняется для внешних электронных оболочек и в то же время не выполняется для внутренних электронов, для которых и соответственно справедливо неравенство . В таком случае тоже может быть введено понятие о диэлектрической проницаемости (как коэффициенте пропорциональности между D и Е), но формулой вида (124,6) определяется при этом лишь вклад в нее со стороны внешних электронов. Вклад же внутренних электронов должен, в принципе, вычисляться путем усреднения по объему этих оболочек. Таким образом, если писать в общем виде с зависящей от координат , мы автоматически учтем все возможные случаи. Для определенности мы будем пользоваться ниже везде выражением (124,6).

Произведя в (124,2) усреднение электронной плотности и получив в результате не зависящую от времени функцию , мы тем самым исключаем возможное изменение частоты при рассеянии. Другими словами, мы рассматриваем строго когерентное рассеяние без изменения частоты.

Исключив Н из двух уравнений (124,3) и , получим

Подставим сюда

и раскроем выражение , учитывая, что (как это следует из ).

Тогда получим

(124,7)

В правой части этого уравнения, уже содержащей малую величину следует понимать под Е заданное поле падающей волны. Найдем решение уравнения (124,7) в пространстве вне рассеивающего кристалла на больших расстояниях от него. Поскольку это уравнение совпадает по форме с уравнением (117,3), то мы можем сразу написать искомое решение по аналогии с (117,4):

(124,8)

Здесь - расстояние от начала координат, расположенного внутри кристалла, до точки наблюдения поля; — амплитуда падающей волны; в левой стороне равенства мы пишем Е вместо D, так как в пустоте вне тела D = E.

Для характеристики интенсивности дифракции рентгеновых лучей введем эффективное сечение (или просто сечение) о, определяемое как отношение интенсивности излучения, дифрагировавшего в телесный угол к плотности потока энергии в падающей волне. Согласно (124,8) имеем

(124,9)

где - угол между . Если падающие лучи «естественны» (а не поляризованы), то множитель в этой формуле заменяется на , где - угол между (см. примечание на стр. 570):

(124,10)

Ниже мы будем, для определенности, предполагать везде именно этот случай.

Мы видим, что интенсивность лучей, дифрагировавших в заданном направлении, в основном определяется квадратом модуля интеграла

(124,11)

т. е. пространственной компоненты Фурье электронной плотности. При этот интеграл сводится просто к усредненной по объему кристалла (т. е. по его элементарной ячейке) электронной плотности .

Но если в уравнениях (124,3-4) заменить на , то мы получим обычные макроскопические уравнения Максвелла с диэлектрической проницаемостью

Согласно этим уравнениям при прохождении рентгеновых лучей через кристалл произойдет их преломление по обычным законам (с показателем преломления ). Таким образом, дифракция на малые углы сводится к не интересующему нас здесь обычному преломлению. Ниже мы будем везде подразумевать, что q заметно отлично от нуля.

Электронная плотность (как и всякая другая функция точки в кристаллической решетке) может быть разложена в ряд Фурье вида

(124,12)

где суммирование производится по всем периодам b обратной решетки (см. V § 133). При подстановке (124,12) в (124,11) и интегрировании по объему кристалла заметно отличный от нуля результат получается лишь при значениях q, близких к какому-либо из b. В промежутках же между этими значениями интенсивность практически равна нулю. В связи с этим можно рассматривать каждый из дифракционных максимумов отдельно, полагая при этом с заданным значением b. Подставив это выражение в (124,10), получим

Наиболее интенсивные максимумы возникают в направлениях, в которых выполняется точное равенство

(124,14)

(уравнение эти максимумы называют главными. При заданном b главный максимум может, однако, осуществляться отнюдь не при произвольном направлении (и частоте) падающих лучей. Написав равенство (124,14) в виде возведя его в квадрат и учитывая, что получим

(124,15)

Этим уравнением определяются те значения волнового вектора к, для которых возможны главные максимумы с заданным значением b. Геометрически (124,15) есть уравнение плоскости в -пространстве, перпендикулярной к вектору b и расположенной на расстоянии от начала координат.

Мы видим, в частности, что непременно должно быть Поскольку , то из (124,14) следует, что

(124,16)

чем определяется угол дифракции в главном максимуме (уравнение Брэгга—Вульфа).

Как известно, каждый вектор b обратной решетки определяет семейство кристаллических плоскостей по уравнениям , где числот пробегает целые значения. Эти плоскости перпендикулярны к направлению вектора b, и по отношению к ним векторы и (отвечающие условию (124,14)) направлены под одинаковыми углами «падения» и «отражения» (рис. 64). В связи с этим о дифракции в главном максимуме иногда говорят как об отражении от соответствующих кристаллических плоскостей.

Рис. 64.

Полная интенсивность дифракционного пятна вблизи какого-либо максимума получается интегрированием (124,13) по телесным углам вблизи соответствующего направления k. Определим полную интенсивность вблизи главного максимума.

Обозначим посредством значение k, соответствующее точному выполнению условия Лауэ (при заданном k): . Введем также . В области вблизи максимума мало, а поскольку k и различаются только направлением, то Поэтому элемент телесного угла можно написать в виде

(124,17)

где ось z выбрана в направлении . Таким образом, имеем

В объемном интеграле можно произвести интегрирование по поскольку от этой координаты не зависит:

где — длина тела в направлении .

Наконец, воспользуемся известной формулой теории интегралов Фурье:

(124,18)

где

— компоненты двумерного разложения Фурье. В результате получим следующую окончательную формулу:

Стоящий здесь интеграл порядка величины , где L — линейные размеры тела. Таким образом, полное сечение дифракции (или, что то же, полная интенсивность пятна) пропорционально , где - объем тела. Отметим, что интенсивность в самом максимуме пропорциональна другой степени объема: при интеграл в (124,13) есть просто V, так что пропорционально :

Тот факт, что интенсивность в максимуме пропорциональна более высокой степени , чем полная интенсивность, наглядно иллюстрирует резкость максимума. Ширина последнего пропорциональна, очевидно,

Развиваемая здесь теория применима лишь при условии, что весь эффект дифракции мал. Это требование налагает, как мы теперь видим, определенное условие на размеры кристалла. Именно, а должно быть мало по сравнению с геометрической площадью сечения тела , откуда

(124.21)

Если это условие нарушается, то становится неприменимым использованное при выводе (124,8) приближение теории возмущений.

1
Оглавление
email@scask.ru