§ 47. Флуктуации в ферромагнетике

Теория фазовых переходов Ландау, на которой основано изложение в § 39, не учитывает флуктуаций параметра порядка, в связи с чем она становится неприменимой в достаточной близости к точке Кюри. Область применимости этой теории определяется критерием

где — коэффициенты в разложении (39, 3—4), а а — порядок величины компонент тензора в (43,1). В то же время должно быть, конечно, как условие близости к точке Кюри.

При обратном знаке неравенства в (47,1), во флуктуационной области, флуктуации параметра порядка играют определяющую роль. Строгая статистическая теория для точки Кюри ферромагнетика в этой области должна была бы быть основана на эффективном гамильтониане

Функция предполагается при этом меняющейся медленно в том смысле, что в ее фурье-разложение входят лишь волновые векторы, малые по сравнению с характерным обратным атомным расстоянием.

Коэффициенты а, В, а совпадают с коэффициентами разложения теории Ландау, т. е. являются не зависящими от температуры постоянными (член с производными написан, для простоты, в предположении кубической симметрии кристалла; коэффициент в нем обозначен здесь как а в отличие от истинного коэффициента а — см. ниже). Эффективный гамильтониан (47,2) отвечает обменному приближению — в нем пренебрежено энергией анизотропии; в этом же приближении следует пренебрегать флуктуациями магнитного поля, возникающими в результате флуктуаций намагниченности (т. е. магнитостатической энергией флуктуаций — ср. IX § 70). Для обменного приближения характерна «вырожденность» задачи: параметр порядка М имеет три компоненты, но эффективный гамильтониан инвариантен относительно поворотов этого вектора на один и тот же угол во всем пространстве.

Для описания поведения термодинамических величин вблизи точки фазового перехода второго рода вводят критические индексы (или критические показатели) согласно определениям, которые мы повторим здесь применительно к точке Кюри ферромагнетика. Индекс а определяет температурную зависимость теплоемкости по обе стороны точки Кюри в отсутствие магнитного поля:

Индекс определяет температурную зависимость спонтанной намагниченности ниже точки Кюри:

Индекс у определяет зависимость от t магнитной восприимчивости парамагнитной фазы:

(о ее поведении при — см. ниже). Зависимость же намагниченности от поля в самой точке Кюри записывается в виде

Температурная зависимость корреляционного радиуса флуктуаций намагниченности определяется индексом v:

В самой же точке Кюри корреляционная функция спадает с расстоянием по степенному законух)

Критические индексы связаны друг с другом определенными соотношениями, некоторые из которых являются следствием гипотезы масштабной инвариантности. Эти соотношения имеют универсальный характер и не зависят, в частности, от числа компонент параметра порядка; они позволяют выразить все перечисленные индексы через любые два из них.

В табл. 2 приведены значения критических индексов для ферромагнитного перехода. Для сравнения указаны также значения для других кратностей вырождения (т. е. n — число компонент параметра порядка М в эффективном гамильтониане вида (47,2)); трехмерному ферромагнетику в обменном приближении отвечает

Таблица 2

В парамагнитной фазе корреляционная функция на расстояниях убывает по экспоненциальному закону. В ферромагнитной же фазе надо различать флуктуации с изменением и без изменения абсолютной величины вектора М. Именно здесь проявляется вырожденность задачи о точке Кюри в обменном приближении.

Это различие отсутствует, когда изменение вектора М, в том числе его направления, происходит на малых расстояниях, корреляционная функция всех флуктуаций следует здесь одному и тому же закону (47,8). На расстояниях же (волновые векторы флуктуации направления М «аномально» возрастают ввиду уменьшения затрат энергии при таком отклонении от равновесия (при однородном по всему кристаллу повороте намагниченности, , энергетические затраты вообще отсутствуют). Корреляционную функцию флуктуаций направления М на этих расстояниях можно найти термодинамическим путем.

Медленность изменения М позволяет выделить в термодинамическом потенциале члены, связанные с этим изменением, написав

где относится к однородно намагниченному телу. Подчеркнем, что здесь имеется в виду истинный термодинамический потенциал; при этом коэффициент а (функция температуры) не совпадает с коэффициентом а в эффективном гамильтониане.

При малом повороте вектора М (без изменения его величины) член не меняется. Если некоторое заданное направление М выбрать в качестве оси , то малое отклонение от этого направления можно описывать малым двумерным вектором в плоскости Соответствующее изменение термодинамического потенциала:

(47,10)

Представив в виде ряда Фурье

получим

и далее для среднего квадрата флуктуации:

(47,11)

где — векторные индексы в плоскости ху. Соответствующая координатная корреляционная функция:

(47,12)

Таким образом, корреляционная функция флуктуаций направления М в ферромагнитной фазе убывает на расстояниях по степенному закону — в противоположность корреляции флуктуаций величины М, убывающей экспоненциально.

Воспользовавшись гипотезой масштабной инвариантности, можно теперь определить температурную зависимость термодинамической величины выразив эту зависимость через уже введенные критические индексы. Как уже было отмечено, при корреляционные функции всех флуктуаций намагниченности, в том числе его направления, следуют одному и тому же закону (47,8). Один из аспектов масштабной инвариантности состоит как раз в том, что характерное расстояние, разделяющее оба предельных закона, совпадает именно с Другими словами, при оба закона должны давать одинаковый порядок величины функции G. При ее температурная зависимость, определенная согласно (47,7-8), есть

Согласно же (47,12) имеем

Сравнив оба выражения, найдем:

(47,13)

(Р. С. Hohenberg, Р. С. Martin, 1965). Таким образом, при величина а медленно (ввиду малости индекса ) стремится к бесконечности. Напомним, что в теории Ландау а стремится к отличной от нуля конечной величине.

При в термодинамический потенциал (47,9) надо добавить член — (при наличии поля среднее направление М, ось , совпадает, конечно, с направлением Н). При флуктуации направления М из условия имеем

Поэтому к выражению (47,10) для изменения Ф при флуктуации добавится член

Очевидно, что это приведет к замене в (47,11) на , так что

(47,14)

Эти формулы позволяют найти восприимчивость ферромагнитной фазы, т. е. производную

(47-15)

Подставив сюда из (47,14) и перейдя от суммирования по к к интегрированию, найдем

и после вычисления интеграла окончательно:

Мы видим, что в обменном приближении флуктуации направления М лишают восприимчивость в ферромагнитной фазе своего буквального смысла она неограниченно возрастает при Формула (47,16) применима не только вблизи точки Кюри.

Под М в знаменателе (47,16) надо понимать его значение при . Во флуктуационной области (вблизи точки Кюри), взяв температурные зависимости М и а из (47,4) и (47,13), найдем, что в ферромагнитной фазе

(47,17)

В области же (температурной) применимости теории Ландау имеется такая область значений Н, где обычный член в восприимчивости, (39,7), преобладает. Действительно, подставив в (47,16) , получим условие этого преобладания в виде

С другой стороны, в теории Ландау поле Н можно считать слабым, если , т. е.

Условие совместности обоих написанных неравенств совпадает с условием (47,1) применимости теории Ландау.

Обменное приближение становится неприменимым в достаточной близости к точке Кюри, когда (ввиду уменьшения обменной энергии) становится существенной энергия анизотропии.

При этом меняется число компонент параметра порядка; так, в одноосном ферромагнетике типа легкая ось он становится однокомпонентным вместо М; ср. конец § 40). В рамках теорий Ландау это обстоятельство не отражается на законах температурной зависимости спонтанной намагниченности и магнитной восприимчивости. Во флуктуационной же области оно существенно: неограниченно возрастают флуктуации лишь компоненты флуктуации же остаются конечными. Это приводит к изменению значений критических индексов, а также к возникновению температурной зависимости коэффициентов анизотропии. Задача осложняется еще и тем, что может оказаться необходимым учитывать также и магнитостатическую энергию флуктуаций магнитного поля; на рассмотрении этой сложной ситуации мы здесь останавливаться не будем.