§ 74. Турбулентное динамо

Турбулентное движение проводящей жидкости обладает замечательным свойством: оно может приводить к самопроизвольной генерации сравнительно больших магнитных полей; об этом явлении говорят как о турбулентном динамо.

В проводящей жидкости всегда существуют малые возмущения, вызванные факторами, посторонними по отношению к самому движению жидкости, и сопровождающиеся появлением очень слабых электрических и магнитных полей (так, возмущения могут быть связаны с магнитомеханическим эффектом во вращающихся участках жидкости или даже с тепловыми флуктуациями). Вопрос заключается в дальнейшем поведении этих возмущений — будут ли они в результате турбулентного движения в среднем усиливаться со временем или же затухнут.

Ход изменения со временем раз возникнувших возмущений магнитного поля определяется игрой различных физических факторов. В направлении усиления поля действует специфический магнитогидродинамический эффект растяжения силовых линий. В § 65 было показано, что при движении жидкости (с достаточно большой проводимостью) магнитные силовые линии тоже перемещаются как «вмороженные» в нее, причем напряженность магнитного поля меняется пропорционально растяжению силовой линии в каждой ее точке. Но при турбулентном движении любые две близкие частицы жидкости с течением времени в среднем расходятся. В результате силовые линии растягиваются, а магнитное поле усиливается.

В направлении уменьшения поля действует диссипация магнитной энергии, выделяющейся в виде джоулева тепла индукционных токов. Поскольку диссипация энергии пропорциональна , т. е. квадратична по пространственным производным поля, ясно, что для движения с достаточно большими пространственными масштабами изменения поля диссипация будет мала. Это еще отнюдь не означает, что поле на таких масштабах будет усиливаться. Дело в том, что упомянутое растяжение силовых линий сопровождается их «запутыванием», что приводит к уменьшению пространственного масштаба. Поэтому возможна ситуация, когда вместо усиления поля с данным масштабом возникает лишь поток энергии от турбулентных пульсаций с большими масштабами к пульсациям с меньшими масштабами; дойдя до достаточно малых масштабов, энергия диссипируется.

Именно такая ситуация имела бы место в случае «двумерной» турбулентности, когда скорость движения жидкости v везде параллельна одной и той же плоскости ху (Я. Б. Зельдович, 1956); тодчеркнем, что генерируемое поле Н при этом не предполагается двумерным. Покажем это.

Рассмотрим, прежде всего, эволюцию перпендикулярной по тношению к движению жидкости компоненты поля . С учетом равенств (в этом параграфе жидкость считаем несжимаемой!) -компонента уравнения (66,1) принимает вид

в него входит только

Первый член описывает просто перенос данного значения вместе с элементом жидкости, к которому оно относится. Второй же член описывает «диффузионное» выравнивание значений в разных точках жидкости. Очевидно, что ни тот, ни другой эффекты не могут привести к возрастанию Если начальное возмущение занимает конечную область пространства, то вследствие «диффузии» с течением времени оно затухнет.

При доказательстве затухания компонент поля Ну можно положить поскольку нам надо исключить именно возможность того, что эти компоненты останутся после затухания Сделаем это при дополнительном ограничении, что все величины (v и Н) не зависят от координаты Тогда вектор направлен по оси z; то же самое относится к вектору а потому (как это видно из выражения (66,6)) по оси направлено и электрическое поле Е. В таком случае можно описать электромагнитное поле с помощью векторного потенциала А, направленного по оси и не зависящего от координаты :

Подставив эти выражения в (66,6), получим, после простого преобразования, уравнение для

точно совпадающее по виду с уравнением (74,1). Отсюда снова следует, что с течением времени возмущения , а с ними и , затухают.

Таким образом, турбулентное динамо представляет собой существенно трехмерное явление. Для иллюстрации этого обстоятельства укажем следующий пример движения, приводящего к усилению поля без изменения его пространственного масштаба. Рассмотрим совокупность замкнутых магнитных силовых линий, вмороженных внутри некоторого тора в жидкости (рис. 45, а). Пусть при движении жидкости этот тор растянется по длине, скажем, вдвое (рис. 45, б); во столько же раз уменьшится площадь его сечения и увеличится величина магнитного поля. Далее, пусть при движении тор «скрутится» (рис. 45, е), а затем петли наложатся друг на друга (рис. 45, г). В результате получится конфигурация примерно тех же размеров, что и вначале, но с удвоенным значением поля в торе.

Многократное повторение такого цикла приводит к неограниченному экспоненциальному усилению поля. Очевидно, что такое движение принципиально трехмерно.

Рис. 45.

Конечно, эта иллюстрация не является доказательством действительного существования турбулентного динамо; существуют еще и движения, дробящие масштабы поля. Для выяснения этого вопроса необходимо прямое исследование устойчивости турбулентного движения проводящей жидкости относительно малых начальных возмущений магнитного поля. На этом пути были получены веские указания на то, что при достаточно больших значениях магнитного числа Рейнольдса генерация магнитного поля действительно происходит. Мы не будем излагать этих, достаточно сложных, исследований, а остановимся лишь на общем описании установившейся картины магнитогидродинамической турбулентности в предположении существования турбулентного динамо.

Как известно, турбулентное движение можно рассматривать как совокупность «турбулентных пульсаций» разных масштабов — начиная от основного, «внешнего», масштаба l до наименьшего, «внутреннего», масштаба Первый совпадает с характеристическими длинами, определяющими размеры области, в которой происходит турбулентное движение. Второй же определяет порядок величины расстояний, на которых становится существенной диссипация энергии (см. VI §§ 31, 32). Говоря о стационарной турбулентности, мы имеем в виду постоянство ее средних характеристик: усредненных по промежуткам времени порядка величины периодов соответствующих пульсаций, но, конечно, малых по сравнению со всем временем наблюдения. Мы будем отличать индексом Я средние характеристики пульсаций масштаба А; так, — средние изменения скорости и поля на расстояниях

Утверждение о существовании турбулентного динамо означает, что на основном масштабе l существуют магнитные поля Ни плотность энергии которых сравнима с плотностью кинетической энергии жидкости

Другими словами, альфвеновская скорость в поле

сравнима с основным масштабом гидродинамической скорости (изменение средней скорости на расстояниях ). Для масштабов же поля

Сразу же подчеркнем главное отличие магнитогидродинамической турбулентности от обычной. В последней движение с основным масштабом не сказывается существенным образом на свойствах мелкомасштабных пульсаций — оно приводит лишь к конвективному «сносу» последних. В магнитогидродинамическом же случае, напротив, поле основного масштаба влияет на движения всех меньших масштабов.

Поскольку для масштабов поле можно считать локально однородным, а то мелкомасштабное движение в этом случае есть не что иное, как совокупность магнитогидродинамических волн малой амплитуды с волновыми векторами и скоростями Согласно (69,11) в этих волнах кинетическая энергия жидкости и магнитная энергия одинаковы. Другими словами, в мелкомасштабных пульсациях с большой точностью соблюдается равнораспределение между магнитной и кинетической энергиями:

По порядку величины это соотношение можно экстраполировать к основному масштабу, где оно дает — в согласии с предположением.

Рассмотрим область значений масштабов К в интервале

Следует иметь в виду, что вязкостная диссипация и джоулева диссипация могут, вообще говоря, становиться существенными при различных значениях , и в этом смысле в магнитогидродинамической турбулентности могут существовать два внутренних масштаба; под в (74,5) подразумевается больший из них, так что в области (74,5) (ее называют инерционной) нет никакой диссипации.

Введем, как и в теории обычной турбулентности, среднее количество энергии (обозначим ее через ), диссипируемой в единицу времени в единице массы жидкости. Эта энергия черпается из крупномасштабного движения, откуда постепенно передается во все меньшие масштабы, пока не диссипируется в пульсациях масштабов Очевидно, что в инерционной области, где диссипация отсутствует, величина представляет собой в то же время постоянный (не зависящий от К) поток энергии в направлении уменьшающихся масштабов. В обычной, чисто гидродинамической турбулентности можно было утверждать, что локальные (т. е. на длинах ) свойства турбулентности должны определяться только величинами р, ей, разумеется, самими расстояниями , но не масштабами l и и размеров и скорости в целом; этого было достаточно для того, чтобы найти зависимость от уже из соображений размерности. В магнитогидродинамической же турбулентности локальные свойства могут зависеть и от поля (или, что то же, от скорости ). Для определения соображения размерности теперь уже недостаточны и надо привлечь к делу соображения о фактическом механизме установления потока энергии.

Этим механизмом является взаимодействие магнитогидродинамических волн малой амплитуды друг с другом, описываемое нелинейными членами в уравнениях движения. Поэтому поток энергии должен разлагаться по степеням малых амплитуд причем это разложение должно начинаться с членов более высокой степени, чем вторая (квадратичные члены соответствовали бы обычной диссипации, отсутствующей здесь). Члены третьей степени зависели бы от фаз взаимодействующих волн и выпадают при усреднении по этим случайным фазам. Поэтому Теперь уже коэффициент пропорциональности можно определить из соображений размерности ( имеет размерность )

или

(R. Н. Kraichnati, 1965). Это выражение заменяет собой закон Колмогорова—Обухова обычной гидродинамической турбулентности. Экстраполируя (74,6) к основному масштабу, получим для оценку

— такую же, как в обычной гидродинамике.

Внутренний масштаб турбулентности можно оценить исходя из представления о мелкомасштабных пульсациях как о магнитогидродинамических волнах на фоне крупномасштабного поля . Вязкость и проводимость среды приводят к поглощению этих волн; соответствующий коэффициент поглощения был найден в задаче к § 69.

Диссипация становится существенной, когда длина поглощения сравнивается с длиной волны, т. е. с масштабом . Поскольку магнитогидродинамические волны распространяются со скоростью (не зависящей от их длины), то частота . Для коэффициента поглощения имеем оценку

Из условия при находим внутренний масштаб:

Если , то , где — число Рейнольдса для основного движения. Аналогично, при имеем .

В заключение отметим еще одно интересное свойство турбулентного движения сильно проводящей среды: магнитное поле выталкивается из турбулентной области. Действительно, рассмотрим занятую турбулентностью конечную область, вне которой имеется магнитное поле. Силовые линии этого поля, входя в турбулентную область, запутываются в ней в силу своей «вморо-женности»; магнитное поле становится хаотичным по направлениям. Это и означает обращение в нуль среднего по времени значения напряженности Н, причем с тем большей точностью, чем выше проводимость среды (конечная проводимость приводит к «проскальзыванию» силовых линий, так что хаотизация поля оказывается неполной). Другими словами, при наложении не слишком сильного магнитного поля на турбулентно движущуюся (в ограниченной области) жидкость последняя будет вести себя как диамагнитная среда с малой магнитной проницаемостью — тем меньшей, чем больше магнитное число Рейнольдса .

Достаточно же сильное магнитное поле не может не проникнуть в жидкость. Это, однако, не означает, что сильное поле должно полностью подавить турбулентность. В сколь угодно сильном однородном внешнем магнитном поле (направленном по оси ) возможна двумерная турбулентность, в которой скорость жидкости везде параллельна плоскости ху и не зависит от координаты z. Действительно, в этом случае

и из (65,2) следует, что движение жидкости не возмущает внешнее поле, оно остается однородным. Не возникает поэтому и токов, и сила Лоренца равна нулю. Можно сказать, что двумерное движение вообще «не чувствует» однородного поля. Именно в такую двумерную турбулентность и вырождается турбулентность в сильном внешнем поле.