§ 81. Тензор напряжений в диспергирующих средах

Представляет существенный интерес также и вопрос о среднем (по времени) тензоре напряжений, определяющем силы, действующие на вещество в переменном электрическом поле. Покажем, что и при наличии дисперсии (но по-прежнему в отсутствие поглощения) выражение для этого тензора не содержит, в отличие от выражения (80,12) для энергии, производных по частоте. В частности, для прозрачной диспергирующей изотропной жидкости в монохроматическом электрическом поле среднее значение получается из (15,9) просто заменой на и произведений их средними значениями (Л. П. Питаевский, 1960).

Для доказательства этого утверждения вернемся к изложенному в § 15 выводу, несколько переформулировав его. Мы рассматривали там заполненный диэлектриком плоский конденсатор и определяли тензор напряжений из условия равенства работы пондеромоторных сил при смещении обкладки изменению соответствующего термодинамического потенциала. Напишем здесь это условие для полных (а не на единицу площади) величин, представив его в виде

(А — площадь обкладки конденсатора). Вместо потенциала здесь использована обычная энергия , изменение которой рассматривается при заданных значениях энтропии диэлектрика и полных зарядов на обкладках конденсатора (вместо заданного потенциала ); использовано, что согласно теореме о малых добавках

В виде (81,1) это условие имеет особенно простой смысл: теплоизолированный конденсатор с заданными зарядами на обкладках представляет собой электрически замкнутую систему; если же внешний источник производит над ним механическую работу (смещая обкладки), то вся эта работа идет на увеличение энергии конденсатора. Энергия конденсатора:

где - энергия диэлектрика в отсутствие поля (при том же значении энтропии , а С — емкость конденсатора; для плоского конденсатора где h — расстояние между обкладками.

Отсюда:

Выразив через смещение обкладок (с учетом зависимости от плотности диэлектрика, меняющейся при смещении), легко получить формулу (15,9); ввиду очевидности результата, не будем на этом останавливаться.

При наличии дисперсии выражение для энергии 41 меняется. Покажем, что тем не менее соотношение (81,3) остается в силе для средней по времени вариации а тем самым будет доказано и сделанное выше утверждение об усредненном тензоре напряжений.

Пусть заряд на обкладках конденсатора меняется по монохроматическому закону с частотой . Тогда конденсатор сам по себе уже не будет электрически замкнутой системой, ввиду необходимости подводить и отводить заряд. Такой системой, однако, является колебательный контур с собственной частотой , состоящий из конденсатора и должным образом подобранной самоиндукции 2); поэтому для его энергии справедливо соотношение (81,1).

В отсутствие сопротивления разность потенциалов на обкладках конденсатора равна сумме внешней электродвижущей силы и электродвижущей силы самоиндукции:

а ток J связан с зарядом на обкладках конденсатора равенством . Для величин, меняющихся со временем по монохроматическому закону, по определению емкости имеем Положив в прежде всего найдем, что и при наличии дисперсии емкости собственная частота контура по-прежнему удовлетворяет соотношению Томсона (62,5):

Далее, умножив равенство (81,4) на и рассматривая (как при выводе (80,12)) «почти монохроматические» величины, без труда получим:

Из вида этого равенства ясно, что выражение в фигурных скобках представляет собой энергию колебательного контура. Первый член в этом выражении преобразуем, подставив и используя (81,5):

Окончательно запишем энергию контура в виде

Нам надо вычислить вариацию этой энергии при малом смещении обкладок конденсатора, т. е. при малом изменении его емкости. В переменном поле это смещение надо представлять себе как происходящее бесконечно медленно. Но при таком изменении остается постоянным адиабатический инвариант, равный (как и для всякой линейной колебательной системы) отношению энергии колебаний к частоте. Таким образом, , т. е.

Из равенства (81,5) имеем, при малом изменении емкости конденсатора:

Но изменение емкости складывается из двух частей:

Первый член есть «статическая» часть изменения, связанная с деформацией так же, как и в статическом случае (здесь существенно, что при наличии дисперсии емкость ) выражается через так же, как в статическом случае). Второй же член связан просто с изменением частоты. Из (81,8-9) находим для «статической» части

При подстановке (81,6) в (81,7) с учетом (81,10) производная выпадает и вариация энергии получается в виде

(81,11)

действительно совпадающем с усредненным вторым членом в (81,3).

Заметим, что выпадение членов с производной по со в 8% имеет совершенно общий характер и не связано с конкретным способом изменения состояния тела (в данном случае — конденсатора). В частности, для среды с дисперсией остается справедливой (с заменой на ) формула (14,1) для изменения свободной энергии при малом изменении :

(81,12)

Зная тензор напряжений, можно по формуле (75,17) найти силу, действующую на единицу объема диэлектрика. При этом члены, содержащие пространственные производные, совпадут с соответствующими членами усредненного по времени выражения (75,18) (в котором надо положить ). Член же с производной по времени (сила Абрагама) оказывается другим.

Действительно, этот член возникает как разность

которая должна быть теперь усреднена по времени. Для этого выражаем D, Е, Н в комплексном виде (т. е. заменяем их на и т. д.), после чего для производной используем формулу (80,10). В результате получим силу Абрагама в виде

(X. Вашина, В. И. Карпман, 1976).

Вопрос о тензоре напряжений в переменном поле имеет смысл не только для прозрачной, но и для поглощающей среды, — в противоположность вопросу о внутренней энергии, который может быть сформулирован лишь в нренебрежении диссипацией. Есть, однако, основания полагать, что в поглощающей среде тензор напряжений не может быть выражен через одну лишь диэлектрическую проницаемость, а потому вообще не может быть найден в общем виде макроскопическим путем.