§ 87. Поверхностный импеданс металлов

Диэлектрическая проницаемость металлов по своей абсолютной величине при не слишком больших частотах велика по сравнению с 1 (при она стремится к бесконечности как ). В этих условиях длина волны в металле мала по сравнению с длиной волны в пустоте. Если при этом (но не обязательно ) мала также и по сравнению с радиусами кривизны поверхности металла, то этим обстоятельством можно воспользоваться для существенного упрощения задачи об отражении произвольных электромагнитных волн от металла.

Малость б означает, что производные от компонент поля внутри металла в направлении нормали к поверхности велики по сравнению с производными в тангенциальных направлениях. Поэтому поле внутри металла вблизи поверхности можно рассматривать как поле плоской волны и, соответственно, поля связаны друг с другом соотношением

где — нормаль к поверхности, направленная внутрь металла. Поскольку, с другой стороны, непрерывны, то таким же соотношением должны быть связаны их значения для поля вне металла у его поверхности. Равенством (87,1) можно воспользоваться (как было указано М. А. Леонтовичем, 1948) в качестве граничного условия при определении поля вне проводника. Таким образом, внешнюю электромагнитную задачу можно решать, совершенно не рассматривая поля внутри металла.

Величину называют поверхностным импедансом металла; обозначим ее посредством

В области частот, для которых выражается через обычную проводимость металла, имеем

(эта формула с была уже указана в § 59).

Среднее (по времени) значение потока энергии через поверхность металла есть

Этот поток представляет собой энергию, втекающую извне внутрь металла и диссипирующуюся в нем. Отсюда видно, что должно быть

Этим неравенством устанавливается знак корня (87,2).

При увеличении частоты глубина проникновения сравнивается по порядку величины с длиной свободного пробега l электронов проводимости. В таком случае пространственная неоднородность поля делает невозможным его макроскопическое описание с помощью диэлектрической проницаемости . Но граничное условие вида

справедливо и при таких частотах. При этом поле внутри металла вблизи его поверхности можно по-прежнему рассматривать как плоскую волну, хотя она и не описывается теперь обычными макроскопическими уравнениями Максвелла. В такой волне поля Е и Н должны быть связаны друг с другом линейным соотношением, а единственно возможный вид линейного соотношения между аксиальным вектором Н и полярным вектором Е есть (87,6). Коэффициент в этом соотношении есть единственная величина, характеризующая свойства металла, которую надо знать для решения внешней электромагнитной задачи. Его вычисление требует, однако, применения кинетической теории (оно изложено в другом томе этого курса — см. X § 86).

При дальнейшем увеличении частоты (обычно в инфракрасной области) вновь становится возможным макроскопическое описание поля и понятие вновь приобретает смысл. Причина этого явления заключается в том, что, поглощая большой квант электрон проводимости приобретает большую энергию, в результате чего длина его пробега уменьшается, так что снова выполняется неравенство Импеданс снова становится величиной, обратно пропорциональной . В этой области частот имеет большую отрицательную вещественную и малую мнимую части. Неравенство является условием того, что имеют макроскопический смысл обе величины . Для того чтобы имела макроскопический смысл лишь большая величина , достаточно, однако, выполнения более слабого условия , где - скорость электронов проводимости в металле (его соблюдение позволяет рассматривать движение электронов, пренебрегая пространственной неоднородностью поля).

Неравенство справедливо для вещественной части импеданса в любом случае. Если же имеет место формула (87,2), то можно высказать некоторые суждения и о знаке мнимой части . Так, если дисперсия более существенна, чем дисперсия (т. е. можно считать вещественной величиной), то из следует , а поскольку всегда , то

Это наиболее обычный случай. Если же дисперсия определяется дисперсией , то тем же путем найдем, что .

Понятие об импедансе может быть применено и к сверхпроводникам. Характерной особенностью последних является существование в них малой глубины проникновения статическом случае При не слишком больших частотах можно принять, что распределение магнитного поля совпадает со статическим. Для определения же электрического поля пишем уравнение

Направим ось по внешней нормали к поверхности сверхпроводника. Пренебрегая производными в тангенциальных направлениях по сравнению с большими производными по z, имеем

(и аналогично для ).

Интегрируем это равенство по глубине внутрь тела:

— значение при , т. е. на поверхности тела. Определим глубину проникновения количественно следующим образом:

Тогда

Сравнив с граничным условием вида (87,6), находим, что импеданс сверхпроводника (в рассматриваемой области не слишком больших частот) дается формулой

Это выражение представляет собой первый член разложения по степеням частоты, которое, таким образом, начинается у сверхпроводников с члена, пропорционального . Следующий член разложения пропорционален и веществен; это есть первый член разложения

Импеданс , рассматриваемый как функция комплексного переменного , обладает свойствами, во многом аналогичными свойствам функции (В. Л. Гинзбург, 1954). Граничное условие, которое для монохроматической волны имеет вид (87,6), в общем случае надо понимать как операторное соотношение

выражающее значение в некоторый момент времени через значения во все предыдущие моменты времени (ср. § 77). Так же как и в § 82, отсюда следует, что функция не имеет особых точек в верхней полуплоскости , включая вещественную ось (кроме точки . Далее, условие вещественности при вещественном приводит к соотношению

Наконец, поскольку диссипация энергии определяется вещественной (а не мнимой, как у ) частью функции , то положительно и не обращается в нуль ни при каком вещественном значении , за исключением только значения

Рассуждения, аналогичные проведенным в § 82, позволяют затем сделать вывод, что

также и во всей верхней полуплоскости. Отсюда следует, в част ности, что не имеет нулей в верхней полуплоскости.

Отсутствие у особых точек в верхней полуплоскости снова приводит к формулам Крамерса—Кронига. При этом особенно существенна формула

Воспользовавшись четностью функции ее можно переписать в виде

или

(87,10)

(единицу в числителе подынтегрального выражения можно опустить, поскольку главное значение интеграла от ) все равно есть нуль).

Все сказанное о функции в той же степени относится и к обратной функции оператор выражает через . В частности, вместо (87,10) будем иметь

При малых эта формула может быть более удобной для использования, чем (87,10). В написанном виде, однако, она неприменима к сверхпроводникам, у которых имеет согласно (87,8) при полюс. Простое видоизменение вывода (ср. переход от (82,7) к (82,9)) приводит при этом к формуле

В заключение этого параграфа в качестве примера использования понятия импеданса рассмотрим отражение плоской электромагнитной волны, падающей из пустоты на плоскую поверхность металла с поверхностным импедансом .

Если вектор Е поляризован перпендикулярно к плоскости падения, то граничное условие (87,6) дает

(обозначения те же, что и в § 86). Отсюда имеем, учитывая малость ,

и коэффициент отражения

(87,13)

Если же лежит в плоскости падения, то граничное условие пишем в виде , т. е.

откуда коэффициент отражения

(87,14)

При углах падения, не слишком близких к ,

Если

(87,16)

Это выражение имеет при минимум, равный

За исключением особого случая (87,16), коэффициент отражения от поверхности с малым близок к единице. Поверхность с (или, как говорят, идеально проводящая поверхность) является в то же время идеально отражающей. Граничное условие на такой поверхности гласит просто аналогично условию для электростатического поля на поверхности проводника. Но в отличие от случая постоянного поля, в переменном поле это условие автоматически влечет за собой выполнение также и определенного условия для магнитного поля. Именно, в силу уравнения из равенства на поверхности следует равенство . Таким образом, на идеально проводящей поверхности в переменном электромагнитном поле обращается в нуль нормальная составляющая магнитного поля. В этом смысле такая поверхность аналогична поверхности сверхпроводника в постоянном магнитном поле.