ГЛАВА XII. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ

§ 103. Пространственная дисперсия

До сих пор при обсуждении диэлектрических свойств вещества мы предполагали, что значение индукции определяется значениями напряженности электрического поля в той же точке пространства , хотя (при наличии дисперсии) и не только в тот же, но и во все предшествующие моменты времени . Такое предположение справедливо не всегда. В общем случае значение зависит от значений в некоторой области пространства вокруг точки . Линейная связь D с Е записывается тогда в виде, обобщающем выражение (77,3):

(103,1)

она представлена здесь сразу в форме, относящейся и к анизотропной среде. Такая нелокальная связь является проявлением, как говорят, пространственной дисперсии (в этой связи обычную рассмотренную в § 77 — дисперсию называют временной или частотной). Для монохроматических компонент поля, зависимость которых от t дается множителями , эта связь принимает вид

(103,2)

Отметим сразу, что в большинстве случаев пространственная дисперсия играет гораздо меньшую роль, чем временная. Дело в том, что для обычных диэлектриков ядро интегрального оператора существенно убывает уже на расстояниях больших только по сравнению с атомными размерами а. Между тем макроскопические поля, усредненные по физически бесконечно малым элементам объема, по определению должны мало меняться на расстояниях . В первом приближении можно тогда вынести из-под знака интеграла по в (103,1), в результате чего мы вернемся к (77,3). В таких случаях пространственная дисперсия может проявиться только в качестве малых поправок. Но эти поправки, как мы увидим, могут приводить к качественно новым физическим явлениям и потому быть существенными.

Другая ситуация может иметь место в проводящих средах (металлы, растворы электролитов, плазма): движение свободных носителей тока приводит к нелокальности, простирающейся на расстояния, которые могут быть велики по сравнению с атомными размерами. В таких случаях существенная пространственная дисперсия может иметь место уже в рамках макроскопической теории.

Проявлением пространственной дисперсии является и доплеровское уширение линии поглощения в газе. Если неподвижный атом имеет на частоте линию поглощения с пренебрежимо малой шириной, то для движущегося атома эта частота сдвигается, в силу эффекта Доплера, на величину , где v — скорость атома . Это приводит в спектре поглощения газа как целого к появлению линии ширины , где — средняя тепловая скорость атомов. В свою очередь, такое уширение означает, что диэлектрическая проницаемость газа имеет существенную пространственную дисперсию при .

В связи с формой записи (103,1) необходимо сделать следующее замечание. Никакие соображения симметрии (пространственной или временной) не могут исключить возможности электрической поляризации диэлектрика в переменном неоднородном магнитном поле. В связи с этим может возникнуть вопрос о том, не следует ли дополнить правую сторону равенства (103,1) или (103,2) членом с магнитным цолем. В действительности, однако, в этом нет необходимости. Дело в том, что поля Е и В нельзя считать полностью независимыми. Они связаны между собой (в монохроматическом случае) уравнением . В силу этого равенства зависимость D от В можно рассматривать как зависимость от пространственных производных Е, т. е. как одно из проявлений нелокальности.

При учете пространственной дисперсии представляется целесообразным, не умаляя степени общности теории, писать уравнения Максвелла в виде

(103,3)

не вводя наряду со средней напряженностью магнитного поля еще и другую величину Н.

Вместо этого все члены, возникающие в результате усреднения микроскопических токов, предполагаются включенными в определение D. Использовавшееся ранее разделение среднего тока на две части согласно (79,3), вообще говоря, не однозначно. В отсутствие пространственной дисперсии оно фиксируется условием, чтобы Р было электрической поляризацией, локальным образом связанной с Е. В отсутствие такой связи удобнее полагать и

(103,5)

чему и отвечает представление уравнений Максвелла в виде (103,3-4)).

Компоненты тензора — ядра интегрального оператора в (103,2) — удовлетворяют соотношениям симметрии

. (103,6)

Это следует из таких же рассуждений, которые были проведены в § 96 для тензора . Разница состоит только в том, что перестановка индексов а, b в обобщенных восприимчивостях означающая перестановку как тензорных индексов t, k, так и точек , приводит теперь к перестановке соогветствующих аргументов в функциях .

Ниже мы будем рассматривать неограниченную макроскопически однородную среду. В таком случае ядро интегрального оператора в (103,1) или (103,2) зависит только от разности . Функции D и Е целесообразно разложить тогда в интеграл Фурье не только по времени, но и по координатам, сведя их к совокупности плоских волн, зависимость которых от и t дается множителем Для таких волн связь D и Е принимает вид

(103,7)

где

(103,8)

В таком описании пространственная дисперсия сводится к появлению зависимости тензора диэлектрической проницаемости от волнового вектора.

«Длина волны» определяет расстояния, на которых поле существенно меняется. Можно сказать поэтому, что пространственная дисперсия является выражением зависимости макроскопических свойств вещества от пространственной неоднородности электромагнитного поля, подобно тому, как частотная дисперсия выражает зависимость от временного изменения поля. При поле стремится к однородному, соответственно чему стремится к обычной проницаемости .

Из определения (103,8) видно, что

(103,9)

— соотношение, обобщающее (77,7). Симметрия же (103,6), выраженная в терминах функций , дает теперь

(103,10)

где в явном виде выписан параметр — внешнее магнитное поле, если таковое имеется. Если среда обладает центром инверсии, компоненты являются четными функциями вектора к; аксиальный же вектор при инверсии не меняется и потому равенство (103,10) сводится к

(103,11)

Пространственная дисперсия не сказывается на выводе формулы (96,5) для диссипации энергии. Поэтому условие отсутствия поглощения по-прежнему выражается эрмитовостью тензора .

При наличии пространственной дисперсии диэлектрическая проницаемость является тензором (а не скаляром) даже в изотропной среде: выделенное направление создается волновым вектором. Если среда не только изотропна, но обладает также и центром инверсии, тензор может быть составлен только из компонент вектора к и единичного тензора (при отсутствии центра симметрии может стать возможным также и член с единичным антисимметричным тензором ; см. § 104). Общий вид такого тензора можно записать как

(103,12)

где зависят только от абсолютной величины волнового вектора (и от ). Если напряженность Е направлена по волновому вектору, то индукция если же то

Соответственно, величины называют продольной и поперечной проницаемостями. При выражение (103,12) должно стремиться к значению не зависящему от направления к; ясно поэтому, что

Описание электромагнитных свойств изотропной среды с помощью проницаемостей отвечает уравнениям Максвелла, представленным в виде (103,3-4). С другой стороны, при когда пространственная дисперсия исчезает, можно вернуться к описанию с помощью проницаемостей . Поэтому между теми и другими величинами существует определенная связь (см. задачу 1).

Аналогия между формулами (103,8) и (77,5) позволяет перенести на каждую из компонент как функцию комплексной переменной результаты исследования аналитических свойств, произведенного в §§ 77, 82. Они являются аналитическими функциями, не имеющими особенностей в верхней полуплоскости и удовлетворяют (при каждом фиксированном значении к) дисперсионным соотношениям Крамерса—Кронига. То же самое относится и к функциям в (103,12). При этом надо иметь в виду, что функция при не стремится при к бесконечности даже в проводящей среде, и потону вычитание (которое было необходимо при выводе (82,9)) здесь не требуется; обращение в проводнике в бесконечность при связано с однородностью статического поля.

Средняя по времени (в объясненном в § 80 смысле) плотность энергии электромагнитного поля в прозрачной среде с пространственной дисперсией выражается прежней формулой (96,6); поскольку теперь то

(Е и В предполагаются представленными в комплексном виде). В плотности же потока энергии в такой среде появляется дополнительный член:

(103,15)

Эта формула выводится путем обобщения вывода формулы (80,11): теперь надо рассматривать волну, размытую как по небольшому интервалу частот, так и по направлениям волнового вектора (см. задачу 2).