§ 90. Электромагнитные колебания в полых резонаторах

Рассмотрим электрическое поле в пустом пространстве, ограниченном идеально проводящими стенками. Уравнения монохроматического поля в пустоте гласят:

Граничные же условия на поверхности идеально проводящего тела (тела с импедансом ):

Для решения задачи достаточно рассматривать одну из величин Е или Н. Исключив, например, Н из уравнений (90,1), получим для Е волновое уравнение

к которому надо также присоединить уравнение

не вытекающее автоматически из (90,1). Решая эти уравнения с граничным условием определим поле Е, после чего вычисляем Н непосредственно по первому из уравнений (90,1), причем граничное условие выполняется автоматически.

При заданных размерах и форме полости уравнения (90,3) и (90,4) имеют решения лишь при вполне определенном наборе значений . Эти значения называют собственными частотами электромагнитных колебаний данного резонатора. При электромагнитное поле не проникает в глубь металла и потери в нем отсутствуют.

Поэтому все собственные колебания не затухают, т. е. все собственные частоты вещественны. Число различных собственных частот резонатора бесконечно. Порядок величины наименьшей из них есть (, где - линейные размеры полости. Это очевидно уже непосредственно из соображений размерности, поскольку есть единственный размерный параметр, характеризующий условия задачи (при заданной форме резонатора). Большие же собственные частоты расположены очень близко друг к другу, причем их число, приходящееся на единичный интервал значений со, равно оно зависит только от объема резонатора V, но не от его формы (см. II § 52).

Средние (по времени) значения электрической и магнитной энергии поля в резонаторе даются соответственно интегралами

Покажем, что эти две величины равны друг другу. С помощью первого из уравнений (90,1) пишем

Второй интеграл преобразуем по частям:

Поскольку на границе объема то интеграл по поверхности обращается в нуль и остается

или, ввиду (90,3),

что и требовалось доказать.

Незатухающие колебания в резонаторе получаются в предположении равного нулю импеданса его стенок. Выясним теперь, какое влияние на собственные частоты оказывает наличие у стенок малого, но все же конечного импеданса.

Среднюю (по времени) энергию, диссипируемую в 1 с в стенках резонатора, можно вычислить как поток энергии, втекающей в стенки из электромагнитного поля в полости.

Учитывая граничное условие (87,6) на поверхности тела с импедансом , напишем нормальную составляющую плотности потока энергии:

( вещественная часть Z). В этом выражении, которое уже содержит малый множитель , в первом приближении можно понимать под Н поле, получающееся при решении задачи с Полная диссипируемая энергия дается интегралом

взятым по внутренней поверхности резонатора. Декремент затухания амплитуды поля со временем получится делением этой величины на удвоенную полную энергию поля, равную

Декремент затухания совпадает с мнимой частью комплексной частоты Написав формулу в комплексном виде

( - значения частоты с учетом и без учета ), мы можем с ее помощью определить не только декремент затухания, но и сдвиг самих собственных частот. Последний, как мы видим, определяется мнимой частью . В § 87 было указано, что обычно при этом сдвиг собственных частот происходит в сторону их уменьшения.

Для фактического вычисления может оказаться удобнее преобразовать стоящий в знаменателе (90,7) объемный интеграл в интеграл по поверхности.

Ввиду тангенциальности вектора Н к поверхности пишем тождественно

Стоящие справа интегралы преобразуем в объемные заменой ; используя при этом уравнения (90,1), получим

Аналогичным образом, учитывая тождество (являющееся следствием граничного условия ), получим

Вычитая почленно друг из друга оба полученных равенства и учитывая (90,5), получим формулу

Все формулы для резонатора, полость которого заполнена непоглощающей диэлектрической средой с отличными от 1 значениями , получаются из формул для пустого резонатора путем замены в них:

(90,9)

Это ясно из того, что при таком преобразовании уравнения (90,1) переходят в правильные уравнения Максвелла в среде

В частности, наличие среды уменьшает все собственные частоты в раз.