§ 16. Электрические силы в твердых телах

Диэлектрические свойства твердого тела меняются не только при изменении его плотности (как у жидкости), но и при деформациях, не меняющих плотности (сдвигах). Мы рассмотрим сначала тела, которые в отсутствие поля изотропны. Деформация нарушает, вообще говоря, изотропию тела; в результате становятся анизотропными также и его диэлектрические свойства, и скалярная диэлектрическая проницаемость заменяется диэлектрическим тензором .

Состояние слабо деформированного тела описывается, как известно, тензором деформации

где - вектор смещения точек тела. Ввиду малости этих величин в изменении компонент достаточно ограничиться лишь членами первого порядка по Соответственно этому представим диэлектрический тензор деформированного тела в виде

Здесь - диэлектрическая проницаемость недеформированного тела, а последние два члена (с двумя скалярными постоянными ) представляют собой наиболее общий вид тензора второго ранга, который можно составить линейным образом из компонент тензора

Посмотрим теперь, в каком пункте должен быть изменен вывод, изложенный в предыдущем параграфе. Поскольку в твердом теле F зависит от всех компонент тензора деформации, то вместо (15,4) надо писать

При рассматриваемом виртуальном смещении вектор и дается формулой (15,5), так что тензор деформации

Подставив это в и учитывая симметрию тензора (а потому и производных ), получим

Теперь ясно, что для тензора напряжений мы получим вместо (15,7) следующее выражение:

Формула (16,3) применима при любой зависимости D от Е. Для непиро- (и непьезо-) электрического тела, в котором дается формулой (13,4), и для нужных нам производных получаем

После этого везде в (16,3) полагаем и находим следующую формулу для тензора напряжений:

есть тензор напряжений в отсутствие электрического поля, определяющийся через модули сдвига и сжатия по обычным формулам теории упругости.

Перейдем теперь к аналогичным вычислениям для анизотропных твердых тел. Изменения, которые должны быть при этом внесены в изложенный выше вывод, заключаются в следующем. При виртуальной деформации слоя вещества его кристаллографические оси испытывают поворот, в результате чего меняется их ориентация по отношению к электрическому полю. Ввиду анизотропии диэлектрических свойств кристалла это обстоятельство приводит к дополнительному изменению F, не учтенному в (16,2). При вычислении этого изменения безразлично считать, оси ли кристалла поворачиваются на некоторый угол относительно поля Е или поле поворачивается относительно осей на угол второй способ более удобен.

Таким образом, к вариации поля (15,6), рассматривавшейся нами ранее, надо прибавить изменение Е при повороте на угол :

Угол связан с вектором смещения и при деформации посредством (это равенство легко получить, заметив, что при повороте тела на угол его точки смещаются на ). Подставив сюда и из (15,5), получим

а затем

Первый член в (16,2) принимает вид

Отсюда видно, что в (16,3) произведение должно быть заменено стоящей здесь в скобках полусуммой:

Отметим, что полученное выражение автоматически оказывается, как и должно быть, симметричным по индексам k.

Что касается диэлектрического тензора деформированного кристалла, то вместо выражения (16,1) с двумя скалярными постоянными мы будем иметь в общем случае выражение вида

где — постоянный тензор четвертого ранга, симметричный по парам индексов и (но не симметричный по отношению к перестановке пары с парой ). Число отличных от нуля независимых компонент этого тензора зависит от симметрии кристалла, а именно от его кристаллического класса.

Мы не станем выписывать здесь формулы для тензора напряжений (аналогичной (16,4)), получающейся при использовании (16,6).

Полученные формулы определяют напряжения внутри твердого диэлектрика. Они, однако, не нужны, если мы хотим определить полную силу F или полный момент сил К, действующие на тело со стороны внешнего поля. Рассмотрим тело, погруженное в жидкую (или газообразную) среду и удерживаемое в ней неподвижно. Полная действующая на него сила равна интегралу , взятому по его поверхности.

В силу непрерывности сил безразлично, вычисляется ли этот интеграл по значениям из (16,4), или из формулы (15,9), относящейся к окружающей тело среде. Предположим, что эта среда находится в механическом и тепловом равновесии. Тогда вычисление еще более упрощается, если учесть условие равновесия (15,18). В силу этого условия часть тензора напряжений (15,9) оказывается постоянным вдоль среды равномерным сжимающим (или растягивающим) давлением, не дающим никакого вклада в полные действующие на тело силу F и момент сил К. Для вычисления последних можно, следовательно, писать просто в виде

где Е — поле в жидкости, диэлектрическая проницаемость это выражение отличается от максвелловского тензора напряжений электрического поля в пустоте лишь множителем е. Таким образом:

Отметим также, что поскольку жидкость находится в равновесии, то в этих формулах можно производить интегрирование по любой замкнутой поверхности, охватывающей рассматриваемое тело (но, разумеется, не заключающей в себе заряженных тел, являющихся источниками поля).

К вопросу о вычислении полной силы, действующей на диэлектрик в электрическом поле (в пустоте), можно подойти и с другой точки зрения, выражая ее не через фактически существующее поле, а через то поле которое создавалось бы заданными источниками в отсутствие диэлектрика; это есть то «внешнее поле», в которое вносится тело. При этом предполагается, что распределение зарядов, создающих поле, не меняется при внесении тела в поле. Это условие может фактически не выполняться, например, если заряды распределены по поверхности протяженного проводника и диэлектрик подносится на конечное расстояние к нему.

При виртуальном параллельном переносе тела как целого на бесконечно малое расстояние и полная свободная энергия тела изменится согласно (11,3) на

где

есть изменение поля по отношению к заданной точке тела.

Поскольку , имеем

так что

С другой стороны, , и мы приходим к следующей формуле для искомой силы:

(16,10)

Аналогичным образом можно определить полный момент сил, действующих на тело. Не останавливаясь на соответствующих вычислениях, укажем результат:

(16,11)

В квазиоднородном поле, которое можно считать постоянным на протяжении размеров тела, формула (16,10) в первом приближении дает

(16,12)

где - полный дипольный момент поляризованного диэлектрика, что, разумеется, можно было бы получить и прямым дифференцированием из (11,8). В формуле (16,11) в первом приближении вообще пренебрегаем вторым членом по сравнению с первым и приходим к естественному результату:

(16,13)