Задачи

1. Определить поле вокруг проводящего незаряженного щара (радиуса R), находящегося во внешнем однородном электрическом поле

Решение. Пишем потенциал в виде где потенциал внешнего поля, а — искомое изменение потенциала, вызываемое шаром. Ввиду симметрии шара функция может зависеть лишь от одного постоянного вектора Единственное такое решение уравнения Лапласа, обращающееся в нуль на бесконечности, есть

(начало координат выбираем в центре шара). На поверхности шара должно быть постоянным; отсюда находим так что

— угол между векторами . Распределение зарядов по поверхности шара дается формулой

полный заряд

Дипольный момент шара проще всего найти путем сравнения с потенциалом поля электрического диполя; найдем

2. То же для бесконечного цилиндра в поперечном однородном поле. Решение. Вводим полярные координаты в плоскости, перпендикулярной к оси цилиндра. Решение двумерного уравнения Лапласа, зависящее только от одного постоянного вектора, есть

Складывая с и положив получим

Поверхностная плотность зарядов

Дипольный момент единицы длины цилиндра можно найти путем сравнения с потенциалом двумерного дипольного поля. Последний имеет вид

так, что

3. Определить поле вблизи клиновидного края на проводнике.

Решение. Выбираем полярные координаты в плоскости, перпендикулярной к краю клина, и с началом в вершине образуемого им угла (рис. 3). Угол пусть отсчитывается от одной из сторон клина; области вне проводника соответствуют значения Вблизи края угла потенциал можно разложить по степеням , причем нас интересует первый (после постоянного) член этого разложения, содержащий наиболее низкую степень .

Решения двумерного уравнения Лапласа, пропорциональные суть Решение с наименьшим , удовлетворяющее условию при (на поверхности проводника), есть

Рис. 3.

Напряженность поля, соответственно, зависит от как При следовательно, напряженность обращается вблизи края угла в бесконечность. В частности, для очень тонкого клина растет при уменьшении как Вблизи же края клиновидной вогнутости на поверхности проводника поле стремится к нулю.

Значение может быть определено только из решения задачи для всего поля в целом. Так, для очень тонкого клина в поле точечного заряда предельный переход к малым в (3,21) подтверждает закон

причем

Слова «вблизи клиновидного края» означают в этом случае условие при выполнении которого можно пренебречь членом в уравнении Лапласа.

4. Определить поле вблизи конца тонкого конического острия на поверхности проводника.

Решение. Выбираем сферические координаты с началом в вершине и с полярной осью вдоль оси конического острия. Угол раствора конуса пусть будет так что области вне проводника соответствуют значения полярного угла Аналогично тому, как это делалось в предыдущей задаче, ищем решение (для переменной части потенциала), симметричное относительно оси конуса, в виде

с наименьшим возможным . Уравнение Лапласа

после подстановки этого выражения дает

Условие постоянства потенциала на поверхности острия означает, что должно быть

При малом ищем решение, сделав предположение, что имеет вид , где , т. е. для бесконечно тонкого острия, естественно ожидать, что стремится к постоянной почти во всей области вокруг острия). Для получаем уравнение

Решение, в котором не имеет особенностей в области вне острия (в частности, при ), есть

При функция перестает быть малой. Тем не менее полученное выражение остается применимым, так как в этой области в силу малости 0 можно вообще пренебречь вторым членом уравнения (2). Для определения постоянной в первом приближении надо потребовать обращения в нуль найденной выше функции при Таким образом, найдем

Напряженность поля неограниченно возрастает при приближении к концу острия как т. е. в основном как .

5. То же для тонкого конического углубления на поверхности проводника.

Решение. Области вне проводника теперь соответствуют значения Как и в предыдущей задаче, ищем в виде (1), но теперь будет . Поскольку по всей области поля теперь , то уравнение (2) можно написать в виде

Это уравнение Бесселя, и его решение, не имеющее особенностей в области поля, есть Значение определяется как наименьший корень уравнения откуда

6. Определить энергию притяжения электрического диполя к плоской поверхности проводника.

Решение. Выбираем ось перпгндикулярной к поверхности проводника и проходящей через точку нахождения диполя; вектор дипольного момента пусть лежит в плоскости «Изображение» диполя находится в точке — х и имеет дипольный момент Искомая энергия притяжения вычисляется как энергия взаимодействия диполя с его «изображением» и равна

7. Определить взаимную емкость единицы длины двух параллельных бесконечных цилиндрических проводников (радиусов а и b, расстояние между осями с).

Решение. Поле, создаваемое обоими цилиндрами, совпадает с полем, которое создавалось бы (в пространстве вне цилиндров) двумя заряженными нитями, проходящими через соответствующим образом подобранные точки А и А' (рис. 4). Нити несут (на единице длины) заряды , равные зарядам цилиндров, а точки А и А' должны быть расположены на линии 00 так, чтобы поверхности цилиндров совпадали с эквипотенциальными поверхностями.

Для этого расстояния ОА и должны удовлетворять соотношениям

л. е.

Рис. 4.

Тогда на каждой из окружностей отношение расстояний от точек А и А' постоянно: на окружности

а на окружности Соответственно, потенциалы цилиндров:

Отсюда находим для искомой взаимной емкости

В частности, для цилиндра радиуса а, находящегося на расстоянии от проводящей плоскости, надо положить и перейти к пределу это дает

Если два полых цилиндра находятся один внутри другого ), то поле снаружи отсутствует, а поле в пространстве между цилиндрами совпадает с полем, которое создавалось бы двумя нитями с зарядами и —е, проходящими через точки А и А (рис. 5). Тем же способом получим результат:

Рис. 5.

8. Граница проводника представляет собой неограниченную плоскость с выступом в виде полушария. Найти распределение зарядов на поверхности.

Решение. В найденном в задаче 1 поле с потенциалом вида

плоскость с выступом является эквипотенциальной поверхностью (на которой ). Поэтому она может быть и поверхностью проводника, а написанная формула определяет поле вне проводника.

Распределение зарядов на плоской части поверхности дается формулой

(мы положили где — плотность зарядов вдали от выступа). На поверхности же выступа

9. Определить дипольный момент тонкого проводящего цилиндрического стержня (длины , радиуса ) в электрическом поле параллельном его оси.

Решение. Пусть индуцированный на поверхности стержня заряд, отнесенный к единице длины; — координата вдоль оси цилиндра, которую будем отсчитывать от его середины. Условие постоянства потенциала на поверхности проводника гласит:

— угол между плоскостями, проходящими через ось цилиндра и через точки на его поверхности, расстояние между которыми равной). Разобьем интеграл на две части, написав в нем тождественно . Учитывая, что и рассматривая точки, не слишком близкие к концам стержня, имеем

использовано известное значение . В интеграле, содержащем разность , можно пренебречь членом с в R, так как это не повлечет за собой расходимости интеграла. Таким образом,

Зависимость от в основном сводится к пропорциональности ; в этом приближении стоящий здесь интеграл дает — результате получаем

Это выражение непригодно вблизи концов стержня, но для вычисления искомого дипольного момента эта область значений z несущественна. С принятой нами здесь точностью имеем:

(где - большое число), или, с той же точностью,

10. Определить емкость полого сферического проводящего сегмента.

Решение. Выберем начало координат О в какой-либо точке края сегмента (рис. 6) и произведем преобразование инверсии ( - длина хорды в главном сечении сегмента). При этом сегмент переходит в полуплоскость (штриховая прямая на рис. 6), перпендикулярную к радиусу АО сегмента и проходящую через точку В его края; угол где — угол раствора сегмента.

Рис. 6.

Если потенциал сегмента, несущего на себе заряд , принять за нуль, то при потенциал поля стремится к

Соответственно, в преобразованной задаче при потенциал стремится

(первый член соответствует заряду в начале координат).

С другой стороны, согласно (3,22) имеем

(потенциал вблизи заряда находящегося на расстоянии l от края проводящей полуплоскости с потенциалом нуль). Сравнив оба выражения, получим для искомой емкости следующую формулу:

( — радиус сегмента).

11. Определить связанную с краевыми эффектами поправку к значению для емкости плоского конденсатора (S — площадь поверхности обкладки, d — расстояние между обкладками; ).

Решение. Наличие у обкладок свободных краев нарушает равномерность распределения зарядов на них. Для определения искомой поправки в первом приближении рассматриваем точки обкладок, удаленные от края на расстояния такие, что Рассматривая, например, верхнюю обкладку (с потенциалом рис. 7, а) и пренебрегая ее расстоянием до средней плоскости (эквипотенциальная поверхность мы получаем задачу о поле вблизи границы двух частей плоскости, имеющих различные потенциалы (рис. 7, б).

Рис. 7.

Эта задача решается элементарно 3), и в результате для избыточной (по сравнению с а вдали от края) плотности зарядов получается выражение

так что полный избыточный заряд

( - длина периметра обкладки); при вычислении логарифмически расходящегося интеграла в качестве верхнего и нижнего пределов подставляем границы области .

Отсюда находим емкость:

Более точное вычисление (определение коэффициента в аргументе логарифма) требует применения значительно более сложных методов, причем результат зависит от формы обкладок. Для круговых (радиуса R) обкладок получается

(формула Кирхгофа).