Главная > Теоретическая физика. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Задачи

1. Определить поле вокруг проводящего незаряженного щара (радиуса R), находящегося во внешнем однородном электрическом поле

Решение. Пишем потенциал в виде где потенциал внешнего поля, а — искомое изменение потенциала, вызываемое шаром. Ввиду симметрии шара функция может зависеть лишь от одного постоянного вектора Единственное такое решение уравнения Лапласа, обращающееся в нуль на бесконечности, есть

(начало координат выбираем в центре шара). На поверхности шара должно быть постоянным; отсюда находим так что

угол между векторами . Распределение зарядов по поверхности шара дается формулой

полный заряд

Дипольный момент шара проще всего найти путем сравнения с потенциалом поля электрического диполя; найдем

2. То же для бесконечного цилиндра в поперечном однородном поле. Решение. Вводим полярные координаты в плоскости, перпендикулярной к оси цилиндра. Решение двумерного уравнения Лапласа, зависящее только от одного постоянного вектора, есть

Складывая с и положив получим

Поверхностная плотность зарядов

Дипольный момент единицы длины цилиндра можно найти путем сравнения с потенциалом двумерного дипольного поля. Последний имеет вид

так, что

3. Определить поле вблизи клиновидного края на проводнике.

Решение. Выбираем полярные координаты в плоскости, перпендикулярной к краю клина, и с началом в вершине образуемого им угла (рис. 3). Угол пусть отсчитывается от одной из сторон клина; области вне проводника соответствуют значения Вблизи края угла потенциал можно разложить по степеням , причем нас интересует первый (после постоянного) член этого разложения, содержащий наиболее низкую степень .

Решения двумерного уравнения Лапласа, пропорциональные суть Решение с наименьшим , удовлетворяющее условию при (на поверхности проводника), есть

Рис. 3.

Напряженность поля, соответственно, зависит от как При следовательно, напряженность обращается вблизи края угла в бесконечность. В частности, для очень тонкого клина растет при уменьшении как Вблизи же края клиновидной вогнутости на поверхности проводника поле стремится к нулю.

Значение может быть определено только из решения задачи для всего поля в целом. Так, для очень тонкого клина в поле точечного заряда предельный переход к малым в (3,21) подтверждает закон

причем

Слова «вблизи клиновидного края» означают в этом случае условие при выполнении которого можно пренебречь членом в уравнении Лапласа.

4. Определить поле вблизи конца тонкого конического острия на поверхности проводника.

Решение. Выбираем сферические координаты с началом в вершине и с полярной осью вдоль оси конического острия. Угол раствора конуса пусть будет так что области вне проводника соответствуют значения полярного угла Аналогично тому, как это делалось в предыдущей задаче, ищем решение (для переменной части потенциала), симметричное относительно оси конуса, в виде

с наименьшим возможным . Уравнение Лапласа

после подстановки этого выражения дает

Условие постоянства потенциала на поверхности острия означает, что должно быть

При малом ищем решение, сделав предположение, что имеет вид , где , т. е. для бесконечно тонкого острия, естественно ожидать, что стремится к постоянной почти во всей области вокруг острия). Для получаем уравнение

Решение, в котором не имеет особенностей в области вне острия (в частности, при ), есть

При функция перестает быть малой. Тем не менее полученное выражение остается применимым, так как в этой области в силу малости 0 можно вообще пренебречь вторым членом уравнения (2). Для определения постоянной в первом приближении надо потребовать обращения в нуль найденной выше функции при Таким образом, найдем

Напряженность поля неограниченно возрастает при приближении к концу острия как т. е. в основном как .

5. То же для тонкого конического углубления на поверхности проводника.

Решение. Области вне проводника теперь соответствуют значения Как и в предыдущей задаче, ищем в виде (1), но теперь будет . Поскольку по всей области поля теперь , то уравнение (2) можно написать в виде

Это уравнение Бесселя, и его решение, не имеющее особенностей в области поля, есть Значение определяется как наименьший корень уравнения откуда

6. Определить энергию притяжения электрического диполя к плоской поверхности проводника.

Решение. Выбираем ось перпгндикулярной к поверхности проводника и проходящей через точку нахождения диполя; вектор дипольного момента пусть лежит в плоскости «Изображение» диполя находится в точке — х и имеет дипольный момент Искомая энергия притяжения вычисляется как энергия взаимодействия диполя с его «изображением» и равна

7. Определить взаимную емкость единицы длины двух параллельных бесконечных цилиндрических проводников (радиусов а и b, расстояние между осями с).

Решение. Поле, создаваемое обоими цилиндрами, совпадает с полем, которое создавалось бы (в пространстве вне цилиндров) двумя заряженными нитями, проходящими через соответствующим образом подобранные точки А и А' (рис. 4). Нити несут (на единице длины) заряды , равные зарядам цилиндров, а точки А и А' должны быть расположены на линии 00 так, чтобы поверхности цилиндров совпадали с эквипотенциальными поверхностями.

Для этого расстояния ОА и должны удовлетворять соотношениям

л. е.

Рис. 4.

Тогда на каждой из окружностей отношение расстояний от точек А и А' постоянно: на окружности

а на окружности Соответственно, потенциалы цилиндров:

Отсюда находим для искомой взаимной емкости

В частности, для цилиндра радиуса а, находящегося на расстоянии от проводящей плоскости, надо положить и перейти к пределу это дает

Если два полых цилиндра находятся один внутри другого ), то поле снаружи отсутствует, а поле в пространстве между цилиндрами совпадает с полем, которое создавалось бы двумя нитями с зарядами и —е, проходящими через точки А и А (рис. 5). Тем же способом получим результат:

Рис. 5.

8. Граница проводника представляет собой неограниченную плоскость с выступом в виде полушария. Найти распределение зарядов на поверхности.

Решение. В найденном в задаче 1 поле с потенциалом вида

плоскость с выступом является эквипотенциальной поверхностью (на которой ). Поэтому она может быть и поверхностью проводника, а написанная формула определяет поле вне проводника.

Распределение зарядов на плоской части поверхности дается формулой

(мы положили где — плотность зарядов вдали от выступа). На поверхности же выступа

9. Определить дипольный момент тонкого проводящего цилиндрического стержня (длины , радиуса ) в электрическом поле параллельном его оси.

Решение. Пусть индуцированный на поверхности стержня заряд, отнесенный к единице длины; — координата вдоль оси цилиндра, которую будем отсчитывать от его середины. Условие постоянства потенциала на поверхности проводника гласит:

угол между плоскостями, проходящими через ось цилиндра и через точки на его поверхности, расстояние между которыми равной). Разобьем интеграл на две части, написав в нем тождественно . Учитывая, что и рассматривая точки, не слишком близкие к концам стержня, имеем

использовано известное значение . В интеграле, содержащем разность , можно пренебречь членом с в R, так как это не повлечет за собой расходимости интеграла. Таким образом,

Зависимость от в основном сводится к пропорциональности ; в этом приближении стоящий здесь интеграл дает — результате получаем

Это выражение непригодно вблизи концов стержня, но для вычисления искомого дипольного момента эта область значений z несущественна. С принятой нами здесь точностью имеем:

(где - большое число), или, с той же точностью,

10. Определить емкость полого сферического проводящего сегмента.

Решение. Выберем начало координат О в какой-либо точке края сегмента (рис. 6) и произведем преобразование инверсии ( - длина хорды в главном сечении сегмента). При этом сегмент переходит в полуплоскость (штриховая прямая на рис. 6), перпендикулярную к радиусу АО сегмента и проходящую через точку В его края; угол где — угол раствора сегмента.

Рис. 6.

Если потенциал сегмента, несущего на себе заряд , принять за нуль, то при потенциал поля стремится к

Соответственно, в преобразованной задаче при потенциал стремится

(первый член соответствует заряду в начале координат).

С другой стороны, согласно (3,22) имеем

(потенциал вблизи заряда находящегося на расстоянии l от края проводящей полуплоскости с потенциалом нуль). Сравнив оба выражения, получим для искомой емкости следующую формулу:

( — радиус сегмента).

11. Определить связанную с краевыми эффектами поправку к значению для емкости плоского конденсатора (S — площадь поверхности обкладки, d — расстояние между обкладками; ).

Решение. Наличие у обкладок свободных краев нарушает равномерность распределения зарядов на них. Для определения искомой поправки в первом приближении рассматриваем точки обкладок, удаленные от края на расстояния такие, что Рассматривая, например, верхнюю обкладку (с потенциалом рис. 7, а) и пренебрегая ее расстоянием до средней плоскости (эквипотенциальная поверхность мы получаем задачу о поле вблизи границы двух частей плоскости, имеющих различные потенциалы (рис. 7, б).

Рис. 7.

Эта задача решается элементарно 3), и в результате для избыточной (по сравнению с а вдали от края) плотности зарядов получается выражение

так что полный избыточный заряд

( - длина периметра обкладки); при вычислении логарифмически расходящегося интеграла в качестве верхнего и нижнего пределов подставляем границы области .

Отсюда находим емкость:

Более точное вычисление (определение коэффициента в аргументе логарифма) требует применения значительно более сложных методов, причем результат зависит от формы обкладок. Для круговых (радиуса R) обкладок получается

(формула Кирхгофа).

1
Оглавление
email@scask.ru