§ 95. Дифракция на плоском экране

Точная формула (94,2) для дифракции на клине может быть приведена к сравнительно простому виду в частном случае дифракции на полуплоскости (чему соответствует ). Именно, комплексный интеграл в (94,2) может быть сведен к интегралу Френеля:

Эта формула справедлива при любых значениях . При и углах пригодно асимптотическое выражение

(формула (94,4) с

С помощью формулы (95,2) может быть получено в замкнутом виде решение задачи о дифракции на плоском идеально проводящем экране любой формы. При этом предполагается лишь, что размеры экранов и расстояния до них велики по сравнению с длиной волны, а углы дифракции не слишком малы (причем эта область перекрывается с областью малых углов, в которой применимы обычные формулы дифракции Френеля). Результат выражается в виде интеграла по контуру края экрана, аналогично тому, как в обычной приближенной теории дифракционное поле выражается в виде интеграла по поверхности, закрывающей отверстие в экране. Мы не станем останавливаться здесь на этих вычислениях.

В точной теории дифракции на плоских идеально проводящих экранах можно высказать теорему (принадлежащую Л. И. Мандельштаму и М. А. Леонтовичу), в известном смысле аналогичную теореме Бабинэ в приближенной теории дифракции.

Рассмотрим плоский экран с отверстием произвольной формы; выберем плоскость экрана в качестве плоскости и пусть электромагнитная волна падает со стороны . Пусть — суммарное поле падающей волны и волны, отраженной от экрана (так, как если бы отверстие отсутствовало); будем представлять его продолженным по другую сторону от экрана .

Поскольку при (в силу граничных условий на идеально проводящей поверхности), то значения при будут связаны соотношениями

Пусть, далее, Е, Н — поле, которое получилось бы при помещении в поле плоской пластинки, по форме, величине и положению совпадающей с отверстием в экране и обладающей магнитной проницаемостью . Тогда решение дифракционной задачи на отверстие в экране дается выражениями

Для доказательства этого утверждения замечаем, что поле обладает той же симметрией (выражаемой формулами (95,3)), что и поле . Поэтому на плоскости оно удовлетворяет условиям

(индексы 1 и 2 соответствуют ). Кроме того, оно удовлетворяет условиям

так как граничные условия на поверхности тела с обратны (в смысле замены Е, Н на Н, Е) условиям на идеально проводящей ) поверхности. Отсюда ясно, что поле (95,4) удовлетворяет необходимым условиям на поверхности экрана вне отверстия и непрерывно на отверстии. Наконец, поскольку поле Е, Н стремится на бесконечности к , то поле (95,4) стремится к при и к нулю при . Тем самым оно удовлетворяет всем условиям поставленной дифракционной задачи, и теорема доказана.

Таким образом, задача о дифракции на отверстии в экране с эквивалентна задаче о дифракции на дополнительном экране с .