§ 38. Магнитные классы и пространственные группы

Покажем, каким образом фактически строятся магнитные группы симметрии; начнем с магнитных классов.

Как уже указывалось в предыдущем параграфе, магнитные классы можно разделить на три типа. К типу I относятся 32 обычных кристаллических класса, не содержащих элемента R вовсе. К типу II относятся те же 32 класса, дополненных элементом R. Каждый такой класс содержит все элементы обычного класса (точечной группы G), а также все эти же элементы, умноженные на R; обозначив магнитный класс символом М, можно написать

(преобразование R, разумеется, коммутативно со всеми пространственными поворотами и отражениями; поэтому , где G — любой элемент группы ).

Эти два типа классов являются, в известном смысле, тривиальными. К нетривиальному типу III относятся 58 магнитных классов, в которые элемент R входит только в комбинациях с поворотами или отражениями. Каждый из них, если заменить в нем операцию R тождественным преобразованием, переходит в один из обычных кристаллических классов G. Построение всех магнитных классов этого типа осуществляется на основании следующих соображений.

Обозначим символом Н совокупность элементов группы G, которые остаются (при построении магнитного класса М) не умноженными на R. По самому определению такой совокупности, она содержит единичный элемент Е (в противном случае М содержала бы элемент R сам по себе, т. е. относилась бы к типу II), а произведения любой пары ее элементов дают элементы той же совокупности. Другими словами, Н есть подгруппа группы

Все остальные элементы группы G входят в М умноженными на R; поскольку то все попарные произведения этих элементов группы являются элементами группы Н. Отсюда следует, что Н — подгруппа группы G (и тем самым группы Ж) индекса 21). Другими словами, структура магнитного класса М типа III может быть представлена в виде

где — какой-либо элемент группы G, не входящий в Н. Очевидно, что группа М и группа изоморфны.

Таким образом, задача о построении всех магнитных классов сводится к нахождению подгрупп индекса 2 всех кристаллических классов. В свою очередь, последняя задача легко решается с помощью таблиц характеров неприводимых представлений точечных групп. Каждое неединичное одномерное представление группы содержит равное число характеров элементы с характерами составляют подгруппу индекса 2. При переходе к магнитному классу эти элементы остаются неизменными, а все остальные умножаются на

Проиллюстрируем эту процедуру на примере точечной группы Таблица характеров ее неприводимых представлений (см. III § 95):

Неединичные одномерные представления: . В представлении элементы с характерами [образуют подгруппу . Соответствующий магнитный класс, который обозначим символом составлен из элементов

В представлениях элементы с характерами образуют подгруппы отличающиеся лишь расположением плоскостей по отношению к фиксированной системе координат.

Эти подгруппы кристаллографически неразличимы, и им отвечает один и тот же магнитный класс с элементами

Перебрав таким образом все 32 кристаллических класса, получим 58 магнитных классов типа III, перечисленных в табл. 1. Каждый класс G (Н) определяется исходной точечной группой G и ее подгруппой Н — одной из перечисленных в скобках после символа группы G. Кристаллические классы не имеют подгрупп индекса 2, и потому нет построенных на их базе магнитных классов.

Таблица 1. Магнитные классы

Отметим также, что поворот никогда не входит в магнитный (нетривиальный) класс умноженным на R; поворот после трехкратного повторения привел бы к преобразованию R, отсутствующему в классах этого типа.

В предыдущем параграфе уже отмечалось, что о возможности существования ферромагнетизма нельзя судить по кристаллографическому классу. Для иллюстрации рассмотрим тетрагональную решетку из одинаковых атомов с магнитными моментами, на правленными вдоль тетрагональной оси.

Ее магнитный кристаллический класс: содержащий преобразования

Все эти преобразования оставляют инвариантным аксиальный вектор М, направленный вдоль оси четвертого порядка. Между тем, кристаллический класс сам по себе не допускал бы существования аксиального вектора: все его компоненты меняли бы знак, например, при повороте вокруг той или иной оси второго порядка.

Перейдем к пространственным магнитным группам. Они находятся в таком же отношении к обычным кристаллическим пространственным группам, как магнитные классы к кристаллическим классам: первые сводятся к последним, если заменить преобразование R тождественным преобразованием. Пространственных магнитных групп имеется всего 1651; как и магнитные классы, они подразделяются на три типа.

К типу I относятся 230 групп, совпадающих с кристаллографическими и не содержащих преобразования R вовсе, а к типу же 230 групп, дополненных элементом

К нетривиальному типу III относятся 1191 групп, содержащие преобразование R лишь в комбинации с какими-либо поворотами, отражениями или трансляциями. Они имеют структуру (38,2), где Н — какая-либо подгруппа индекса 2 кристаллической пространственной группы — элемент из G, не входящий в Н. Очевидно, что подгруппа Н должна совпадать с исходной пространственной группой б либо по своей трансляционной симметрии, либо по своему классу; в первом случае она имеет вдвое меньше «поворотных» элементов (поворотов и отражений), чем группа G, а во втором — вдвое меньше трансляций. Соответственно этому, тип III можно подразделить еще на два подтипа.

К подтипу отнесем магнитные пространственные группы, для которых в (31,2) есть какое-либо «поворотное» преобразование кристаллической группы не входящее в Н.

Трансляционная симметрия (решетка Еравэ) пространственной группы М этого типа совпадает с трансляционной симметрией группы О; Другими словами, элементарная ячейка магнитной структуры совпадает с чисто кристаллографической элементарной ячейкой. Эти пространственные магнитные группы (их всего 674) относятся к магнитным классам типа III.

К подтипу III б отнесем магнитные пространственные группы, для которых в качестве в (31,2) может быть выбрана чистая трансляция на один из основных периодов группы G. Элементарная ячейка магнитной структуры по объему вдвое больше кристаллографической элементарной ячейки. Совокупность чистых трансляций и трансляций, умноженных на R, образует магнитную решетку Бравэ; всего имеется 22 различных таких решетки. Пространственные магнитные группы типа имеется всего 517) относятся к магнитным классам типа II.