§ 22. Эффект Холла

Если проводник находится во внешнем магнитном поле Н, то связь между плотностью тока и напряженностью электрического поля по-прежнему дается соотношениями

но компоненты тензора проводимости являются функциями Н и, что особенно существенно, уже не симметричны по индексам . Симметрия этого тензора была доказана в §. 20, исходя из принципа симметрии кинетических коэффициентов. Но в магнитном поле, как известно, формулировка этого принципа несколько меняется: одновременно с перестановкой индексов у кинетических коэффициентов должна быть изменено на обратное также и направление магнитного поля (см. V § 120). Поэтому для компонент тензора будем теперь иметь соотношения

Величины же отнюдь не равны друг другу.

Как и всякий общий тензор второго ранга, тензор можно разделить на симметричную и антисимметричную части, которые мы обозначим соответственно как

По определению,

а из (22,1) следует, что

Таким образом, компоненты тензора являются четными, а тензора - нечетными функциями магнитного поля.

Как известно, всякий антисимметричный тензор второго ранга эквивалентен (дуален) некоторому аксиальному вектору, с которым его компоненты связаны посредством

С помощью этого вектора компоненты произведения могут быть написаны в виде компонент векторного произведения :

Джоулево тепло, выделяющееся при прохождении тока, определяется произведением .

В силу перпендикулярности векторов и Е их произведение обращается тождественно в нуль, так что

т. е. джоулево тепло определяется (при заданной напряженности Е) одной лишь симметричной частью тензора проводимости.

Если магнитное поле достаточно слабое, можно разложить компоненты тензора проводимости по его степеням. Ввиду нечетности функции в разложение этого вектора войдут только члены нечетных степеней. Первые члены разложения линейны по полю, т. е. имеют вид

Векторы а и Н оба аксиальны; поэтому постоянные составляют обычный (полярный) тензор. В разложение же четных функций входят только члены с четными степенями. Первый член разложения есть проводимость в отсутствие поля, а первые поправочные члены квадратичны по полю:

Тензор симметричен как по индексам так и по индексам

Таким образом, основной, линейный по полю, эффект влияния магнитного поля заключен в члене (эффект Холла). Он состоит, как мы видим, в появлении тока, перпендикулярного электрическому полю и по величине пропорционального напряженности магнитного поля. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае произвольной анизотропной среды холловский ток не является единственным, перпендикулярным к Е; такие составляющие может иметь и не холловский ток

Эффект Холла имеет и другой аспект, явствующий из обратных формул, выражающих поле Е через плотность тока:

Обратный тензор как и прямой, можно разложить на симметричную часть (которую мы обозначим как ) и антисимметричную, дуальную некоторому аксиальному вектору b:

(22,10)

Тензор и вектор b обладают такими же свойствами, как и и а. В частности, в слабых полях вектор b линеен по магнитному полю. В формулах (22,10) эффект Холла представляется членом т. е. появлением электрического поля, перпендикулярного к току и по величине пропорционального магнитному полю (и току ).

Все написанные выше соотношения очень упрощаются, если проводник изотропен.

В этом случае из соображений симметрии очевидно, что вектор b (или а) может быть направлен только вдоль магнитного поля. Единственными же отличными от нуля компонентами тензора являются где ось выбрана вдоль направления поля. Обозначив эти две величины посредством и выбрав плоскость проходящей через направление тока, будем иметь

(22,11)

Отсюда видно, что в изотропном проводнике холловское поле есть единственное электрическое поле, перпендикулярное одновременно току и магнитному полю.

В слабых магнитных полях связь векторов b и Н дается (в изотропном теле) просто соотношением

(22,12)

Постоянная R (постоянная Холла) может быть как положительной, так и отрицательной. Что касается квадратичных по Н членов в зависимости между Е и j (входящих через тензор ), то их вид ясен из того, что единственными векторами, которые можно составить из j и Н (линейными по j и квадратичными по Н), являются . Поэтому общий вид зависимости между Е и j в изотропном теле с учетом квадратичных по Н членов дается формулой

(22,13)