§ 59. Глубина проникновения магнитного поля в проводник

Рассмотрим проводник, помещенный во внешнее переменное магнитное поле с заданной частотой со. Магнитное поле, проникая внутрь проводника, индуцирует в нем переменное электрическое поле, а последнее в свою очередь вызывает появление токов (так называемые токи Фуко). Общее представление о характере проникновения поля в проводник можно получить, уже исходя из указанной выше аналогии между уравнением (58,6) и уравнением теплопроводности. Из теории теплопроводности известно, что величина, удовлетворяющая такому уравнению, за интервал времени t распространяется в пространстве на расстояние порядка

Поэтому мы сразу можем заключить, что магнитное поле проникает в глубь проводника на расстояние порядка величины

То же самое относится, конечно, и к индуцируемым им электрическому полю и токам.

В переменном поле с частотой зависимость всех величин от времени дается множителем . Уравнение (58,6) принимает при этом вид

Рассмотрим два предельных случая. Если глубина проникновения велика по сравнению с размерами тела (малые частоты), то в первом приближении можно заменить правую сторону уравнения (59,1) нулем. Тогда распределение магнитного поля в каждый момент времени будет таким, каким оно было бы в стационарном случае при заданном значении внешнего поля вдали от тела. Обозначим это решение как оно не зависит от частоты (точнее, содержит ее лишь во временном множителе ). Индуцированное же электрическое поле появляется лишь в следующем приближении по , так как в стационарном случае оно вообще отсутствовало бы. Этому соответствует тот факт, что, вычисляя Е по согласно уравнению (58,4), мы получили бы нуль, так как Поэтому для вычисления Е надо обратиться к уравнению (58,1), согласно которому

Это уравнение вместе с уравнением (следующим из (58,4) при постоянной вдоль тела а) полностью определяет распределение электрического поля. Отметим, что оно оказывается пропорциональным частоте .

Обратимся к обратному предельному случаю (большие частоты). Условие локальности уравнений поля, о котором упоминалось в § 58, требует, чтобы было все же велико по сравнению с длиной свободного пробега электронов проводимости.

При магнитное поле проникает лишь в тонкий поверхностный слой проводника. Для вычисления поля вне проводника можно пренебречь толщиной этого слоя, т. е. считать, что внутрь тела магнитное поле вообще не проникает. В этом смысле проводник в высокочастотном магнитном поле ведет себя так же, как сверхпроводник в постоянном поле, и для вычисления поля вне его надо решить соответствующую стационарную задачу для сверхпроводника той же формы.

Исследование истинного распределения поля в поверхностном слое проводника можно произвести в общем виде, рассматривая небольшие участки поверхности как плоские. Речь идет тогда о решении уравнения (59,1) для проводящей среды, ограниченной плоской поверхностью, вне которой поле имеет заданное значение, которое обозначим как Этот вектор получается указанным выше образом в результате решения внешней задачи и параллелен поверхности проводника. В силу граничного условия (58,8) магнитное поле в проводнике у его поверхности равно тому же .

Выберем поверхность проводника в качестве плоскости причем проводящая среда заполняет полупространство Ввиду однородности условий задачи по направлениям и у искомое поле Н зависит только от координаты z (и времени). Поэтому имеем , и так как на границе , то и везде . Согласно (59,1) имеем для Н уравнение

где

Решение этого уравнения, обращающееся в нуль вдали от поверхности (), пропорционально .

Учитывая также граничное условие при , получим

где глубина проникновения определяется как

Электрическое же поле определится теперь с помощью уравнения (58,4). Введя единичный вектор в направлении оси z, получим

Отметим, что .

Если поле линейно поляризовано, то надлежащим выбором начала отсчета времени можно добиться вещественности Выберем тогда направление этого вектора в качестве направления оси у. Отделив в (59,4) и (59,5) вещественную часть, получим

Вместе с электрическим полем по такому же закону будет распределена плотность токов Фуко .

Соотношение (59,5) в рассмотренном случае справедливо для поля во всем полупространстве . В более общих случаях соотношение вида

справедливо, вообще говоря, лишь на самой поверхности проводника для тангенциальных к ней составляющих полей (поскольку эти составляющие непрерывны на поверхности, то соотношение (59,7) относится к полю по обе стороны поверхности). Коэффициент называют поверхностным импедансом проводника (к более общим аспектам этого понятия мы вернемся в § 87). В данном случае

Возникновение токов Фуко сопровождается диссипацией энергии поля, выделяющейся в виде джоулева тепла. Средняя (по времени) энергия Q диссипируемая в проводнике в 1 с, равна

Ее можно вычислить и как среднее количество энергии поля, втекающей в 1 с извне внутрь проводника, т. е. как интеграл

взятый по поверхности проводника.

Мы видели выше, что в предельном случае амплитуда магнитного поля внутри проводника не зависит от частоты, а амплитуда электрического поля пропорциональна со. Поэтому диссипация энергии Q при малых частотах пропорциональна .

В случае же магнитное и электрическое поля на поверхности проводника даются формулами (59,3) и (59,5) с . Вектор Пойнтинга нормален к поверхности, а его среднее значение

причем изменение вдоль поверхности определяется указанным выше образом решением задачи о поле вне сверхпроводника той же формы. Диссипация энергии

Отметим, что при больших частотах она оказывается пропорциональной .

Диссипация энергии может быть выражена и через полный магнитный момент , приобретаемый проводником в магнитном поле. В периодическом поле магнитный момент тоже есть периодическая функция времени с той же частотой. Согласно формуле (32,4) изменение свободной энергии тела со временем дается производной

- внешнее однородное поле, в которое помещен проводник.

Это выражение не дает еще непосредственно искомую диссипацию, так как энергия тела изменяется не только благодаря диссипации, но и благодаря периодическому ее мигрированию между телом и окружающим полем. Если же произвести усреднение по времени, то последняя часть исчезнет и, таким образом, средняя диссипация энергии в единицу времени

(59,11)

Если выражены в комплексном виде, то и Q можно вычислять как

(59,12)

Компоненты магнитного момента Ж являются линейными функциями внешнего поля:

(59,13)

где безразмерные коэффициенты зависят от формы тела и его ориентации во внешнем поле (но не от его объема V); Ж и в этой формуле предполагаются написанными в комплексном виде, так что и величины вообще говоря, комплексны. Тензор Vaik можно назвать тензором магнитной поляризуемости тела как целого. Этот тензор относится к категории величин, известных как обобщенные восприимчивости, и обладает всеми их свойствами. В частности, он симметричен (см. V § 125):

(59,14)

Воспользовавшись этим свойством, можно написать

Если, кроме того, написать комплексные величины в виде

то для диссипации энергии (59,12) получим

(59,15)

Таким образеи дисксипация энергии определяется мнимой частью магноudом, лотниуемости тела. Мы видели ивыше, что при малых частотах Q пропорциональна а при больших . Поэтому мы можем заключить, что величины в этих двух предельных случаях пропорциональны соответственно . Убывая как при , так и при , они проходят в промежуточной области через максимум.

Магнитный момент проводника в переменном магнитном поле создается в основном возникающими в теле токами проводимости; он отличен от нуля даже при когда статический момент обращается в нуль. Последний должен получаться из в пределе при Отсюда следует, что вещественная часть магнитной поляризуемости стремится при к постоянному значению (к нулю при соответствующему намагничению в постоянном поле.

В пределе же когда магнитное поле не проникает внутрь тела, величины стремятся к другому постоянному пределу, соответствующему статическому намагничению сверхпроводника той же формы.