§ 9. Диэлектрическая проницаемость смеси

Если вещество представляет собой мелкодисперсную смесь (эмульсия, порошкообразная смесь и т. п.), то можно рассматривать электрическое поле, усредненное по объемам, большим по сравнению с масштабами неоднородностей. По отношению к такому среднему полю смесь является однородной и изотропной средой и как таковая может характеризоваться определенным эффективным значением диэлектрической проницаемости, которое мы обозначим есм. Если Е и D — усредненные указанным образом напряженность и индукция поля, то, по определению

Если все частицы смеси изотропны, а разности между их диэлектрическими проницаемостями малы по сравнению с самими , то оказывается возможным вычислить в общем виде с точностью до членов второго порядка по указанным разностям.

Напишем местное значение напряженности поля в виде а местное значение диэлектрической проницаемости — как где

получается усреднением по объему. Тогда среднее значение индукции

(так как, по определению , их средние значения равны нулю). В нулевом приближении первый отличный от нуля поправочный член будет, естественно, второго порядка по как это видно и из (9,3).

Из неусредненного уравнения с точностью до малых членов первого порядка, имеем

Усреднение произведения в (9,3) проводим в два этапа. Прежде всего, усредняем по объему частиц одного и того же вещества, т. е. при заданном значении Усредненное таким образом значение легко получить из уравнения (9,4). Именно, ввиду изотропии смеси в целом имеем

Если, скажем, вектор Е направлен по оси то из (9,4) имеем

откуда

Ввиду произвольности выбора направления оси х, это равенство можно написать в векторном виде:

Умножив на и произведя окончательное усреднение по всем компонентам смеси, получим

Наконец, подставив это выражение в (9,3) и сравнив с (9,1), получим искомый результат:

Эта формула может быть представлена и в другом виде, если заметить, что с точностью до членов второго порядка

Поэтому

Таким образом, можно сказать, что в рассматриваемом приближении оказывается аддитивным кубический корень из .

Другой предельный случай, допускающий точное рассмотрение, - диэлектрическая проницаемость эмульсии с произвольной разницей между диэлектрическими проницаемостями среды и диспергированной фазы , но малой концентрацией последней; частицы диспергированной фазы предполагаются сферическими.

В интеграле

подынтегральное выражение отлично от нуля только внутри частиц эмульсии. Поэтому он пропорционален объемной концентрации эмульсии с и при его вычислении можно считать, что частицы эмульсии находятся во внешнем поле, совпадающем со средним полем Е. Воспользовавшись для сферических частиц формулой (8,2), получим для коэффициента пропорциональности между D и Е:

Эта формула справедлива с точностью до членов первого порядка по с. При близких она совпадает (с точностью до членов первого порядка по с и второго — по ) с результатом, даваемым при малых с формулой (9,5).