Задачи
1. Определить частоты собственных колебаний в резонаторе с идеально проводящими стенками, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда.
Решение. Оси 
выбираем по трем ребрам параллелепипеда, имеющим длины 
Решения уравнений (90,3) и (90,4), удовлетворяющие граничному условию Е = 0:
и аналогично для 
где
(
— целые положительные числа); постоянные 
связаны соотношением
а собственные частоты
Магнитное поле вычисляется из (1);
и аналогично для 
Если все три или два из чисел 
равны нулю, 
Поэтому первой (наименьшей) частоте соответствует колебание, в котором одно из этих чисел равно нулю, а два — единице.
Ввиду наличия связи (3) решение (1) (с заданными отличными от нуля 
) содержит всего две независимые произвольные постоянные, т. е. каждая собственная частота двукратно вырождена. Частоты же, для которых одно из чисел 
равно нулю, не вырождены.
2. Определить частоты дипольно-электрических и дипольно-магнитных колебаний в сферическом резонаторе (радиуса а).
Решение. В стоячей сферической волне дипольно-электрического типа поля Е и Н имеют вид
где b — постоянный вектор, 
(см. II § 72). Граничное условие 
при 
приводит к уравнению
Его наименьший корень есть 
Частота 
есть наименьшая из всех собственных частот сферического резонатора.
В стоячей сферической волне дипольно-магнитного типа
Граничное условие для E приводит к уравнению
Его первый корень: 
3. В резонатор внесен маленький шарик с электрической и магнитной поляризуемостями 
Определить вызванный этим сдвиг собственной частоты резонатора.
Решение. Пусть Е, Н — напряженности поля в резонаторе без шарика, 
— в его присутствии. Поля Е и Н удовлетворяют уравнениям (90,1), 
— уравнениям
где 
— плотность тока в шарике. Умножим первое уравнение 
второе на 
, произведем комплексное сопряжение над уравнениями (90,1) и умножим первое из них на 
а второе на 
Сложив затем все четыре уравнения, получим
где 
— искомый сдвиг частоты. Проинтегрируем это равенство по объему резонатора. Левая сторона преобразуется по теореме Гаусса и исчезает, так как на стенке 
Ввиду малых размеров шарика основной вклад в интеграл от первого члена справа возникает на больших расстояниях от него; с другой стороны, на этих расстояниях производимое шариком возмущение поля мало, так что можно положить 
. Интеграл же от второго члена преобразуется подобно тому, как это делалось в § 89 (и в задаче 1 к нему), и дает
где 
— координаты шарика, 
— его объем; подразумевается, что размеры шарика настолько малы, что изменением полей Е, Н на них можно пренебречь.
Таким образом, с учетом (90,5), находим для искомого сдвига частоты;
Если поляризуемости комплексны, эта формула дает как сдвиг частоты собственных колебаний, так и их затухание.
4. Резонатор заполнен прозрачным диэлектриком без дисперсии с диэлектрической проницаемостью 
Определить изменение собственной частоты при малом изменении 
диэлектрической проницаемости.
Решение. Невозмущенное поле 
в резонаторе удовлетворяет уравнениям
а возмущенное поле Е, Н — уравнениям
(членом с 
пренебрегаем). Поступив с этими четырьмя уравнениями, как в предыдущей задаче, получим
и затем:
При переходе к последней формуле учтено, что для заполненного диэлектриком резонатора соотношение (90,5) приобретает вид
как это ясно из (90,9).
