§ 76. Электродинамика движущихся диэлектриков

Движение среды приводит к возникновению явлений взаимного влияния электрических и магнитных полей. Для проводников эти явления были рассмотрены в § 63, теперь же мы обратимся к изучению этого вопроса для диэлектриков. При этом фактически идет речь о явлениях, возникающих в движущихся телах при наличии внешнего электрического или магнитного полей. Подчеркнем, что они не имеют ничего общего с явлениями возникновения полей в результате самого движения тел (которые рассматривались в §§ 36, 64).

Отправным пунктом в § 63 являлись формулы преобразования поля при переходе от одной системы отсчета к другой. При этом нам было достаточно знать обычные формулы преобразования электрической и магнитной напряженности поля в пустоте, усреднение которых непосредственно дает формулы преобразования Е и В. В диэлектриках вопрос значительно более сложен, в связи с наличием большего числа величин, описывающих электромагнитное поле.

При движении макроскопических тел речь идет обычно о скоростях, малых по сравнению со скоростью света. Однако получить соответствующие приближенпые формулы преобразования проще всего на основе точных релятивистских формул, справедливых при любых скоростях.

Как известно, в электродинамике поля в пустоте компоненты векторов е и h электрической и магнитной напряженности в действительности являются компонентами антисимметрического четырехмерного тензора (-тензора) второго ранга (см. II § 23). Поскольку Е и В являются средними значениями е и h, то же самое относится и к ним. Таким образом, имеется 4-тензор следующими компонентами:

С помощью этого тензора первая пара уравнений Максвелла

может быть написана в четырехмерном виде как

Тем самым выявляется релятивистская инвариантность этих уравнений. Подчеркнем, что сама по себе применимость уравнений (76,2) к движущимся телам очевидна, поскольку эти уравнения получаются непосредственно путем замены и h в точных микроскопических уравнениях Максвелла их усредненными значениями Е и В.

Но и вторая пара уравнений Максвелла,

тоже сохраняет свой формальный вид и в движущихся средах. Это очевидно из приведенных в предыдущем параграфе рассуждений, в которых были использованы лишь такие общие свойства тел (например, равенство нулю полного заряда), которыми движущиеся тела обладают в той же степени, как и неподвижные. При этом, однако, связи величин D и В с величинами Е и Н уже отнюдь не должны совпадать с теми, которые имеют место в неподвижных средах.

Будучи справедливыми как для неподвижных, так и для движущихся тел, уравнения (76,4) должны сохранять свой вид при преобразовании Лоренца. Для поля в пустоте векторы D и Н совпадают с Е и В и релятивистская инвариантность второй пары уравнений Максвелла проявляется в том, что и они могут быть написаны в четырехмерном виде с помощью того же тензора (см. II § 30). Поэтому ясно, что для обеспечения релятивистской инвариантности уравнений (76,4) необходимо, чтобы компоненты векторов D и Н в действительности преобразовывались как компоненты 4-тензора, построенного аналогично тензору обозначим этот тензор как Н:

С его помощью уравнения (76,4) записываются в виде

Выяснив четырехмерный тензорный характер величин Е, D, Н, В, мы тем самым узнали закон их преобразования при переходе от одной системы отсчета к другой. Нас, однако, интересует здесь не столько закон этого преобразования, сколько связь между этими величинами в движущейся среде, обобщающая соотношения , справедливые в неподвижных телах.

Обозначим посредством и 4-вектор скорости среды; его компоненты связаны с трехмерной скоростью v посредством

Составим из этого 4-вектора и 4-тензоров такие комбинации, которые в неподвижной среде переходят в Е и D. Таковыми являются 4-векторы , при их временные компоненты обращаются в нуль, а пространственные соответственно в Е и D. Поэтому ясно, что четырехмерным обобщением равенства является

Аналогичным образом убеждаемся в том, что обобщением соотношения является четырехмерное равенство

Переходя от четырехмерных обозначений снова к трехмерным величинам, получим из этих двух уравнений векторные соотношения 2):

Эти формулы, полученные Минковским (H. Minkowski, 1908), являются точными в том смысле, что еще не сделано никаких предположений о величине скорости. Считая же отношение малым и решая эти уравнения относительно D и В с точностью до членов первого порядка, получим

(76,10)

Эти формулы, вместе с уравнениями Максвелла (76,2) и (76,4), составляют основу электродинамики движущихся диэлектриков.

Граничные условия к уравнениям Максвелла тоже претерпевают некоторое изменение. Из уравнений по-прежнему следуют условия непрерывности нормальных компонент индукции:

(76,12)

Условия же для тангенциальных компонент поля проще всего можно получить путем перехода от неподвижной системы отсчета К к новой системе К, движущейся вместе с данным элементом поверхности тела; скорость последнего (направленную вдоль нормали ) обозначим как системе справедливы обычные условия непрерывности . Согласно релятивистским формулам преобразования (см. II § 24), эти требования эквивалентны условию непрерывности тангенциальных компонент векторов

Проецируя их на плоскость, перпендикулярную к , и учитывая равенства (76,12), получим искомые граничные условия:

(76.13)

Если подставить сюда выражения (76,10-11) и пренебречь членами высшего порядка по то мы получим

(76.14)

В этом приближении в правой стороне равенств можно не различать значения Н и Е на обеих сторонах поверхности раздела.

Если тело движется так, что его поверхность не смещается в перпендикулярном к самой себе направлении (например, при поворачивании тела вращения вокруг оси), то Только в этом случае граничные условия (76,13) или (76,14) сводятся к обычным условиям непрерывности