Задачи

1. Определить отличные от нуля компоненты тензора и для непироэлектрических кристаллических классов, допускающих пьезоэлектричество.

Решение. Класс содержит три взаимно перпендикулярные оси симметрии второго порядка, которые выбираем в качестве осей . Повороты на 180° вокруг этих осей меняют знаки каждых двух из трех координат. Поскольку компоненты преобразуются как произведения , то отличными от нуля могут быть только те из них, все три индекса которых различны:

остальные отличные от нуля компоненты равны этим в силу свойства Соответственно пьезоэлектрическая часть термодинамического потенциала

Класс получается добавлением к осям класса еще двух плоскостей симметрии, проходящих через одну из осей (пусть ось ) и делящих пополам углы между осями х и у. Отражение в одной из этих плоскостей означает преобразование . Поэтому компоненты отличающиеся перестановкой индексов , должны быть одинаковыми, так что из трех коэффициентов в (1) остаются независимыми лишь два:

Класс Т получается из класса путем добавления четырех диагональных осей симметрии третьего порядка, повороты вокруг которых осуществляют циклическую перестановку осей , например: . Поэтому становятся равными все три коэффициента в (1):

Такой же результат получается для кубического класса .

Класс содержит ось симметрии порядка (ось ) и четыре оси порядка, лежащие в плоскости В дополнение к элементам симметрии класса достаточно рассмотреть здесь поворот на 90° вокруг оси , т. е. преобразование . В силу этого преобразования один из коэффициентов в (1) обращается в нуль откуда а Два Других отличаются только знаком:

Такой же результат получается для класса

Класс содержит преобразования . Отличны от нуля компоненты

Соответствующим выбором направлений осей у одна из этих величин может быть обращена в нуль.

Класс содержит ось симметрии порядка (ось ) и три оси симметрии порядка в плоскости одна из которых пусть будет направлена по оси Для выяснения ограничений, налагаемых наличием оси третьего порядка, удобно произвести формальное преобразование, вводя комплексные «координаты»

координату z оставляем без изменений. К этим новым координатам преобразуем также и тензор . В его компонентах индексы пробегают теперь значения . При повороте на 120° вокруг оси эти координаты подвергаются преобразованию

При этом остаются неизменными и потому могут быть отличными от нуля лишь следующие компоненты тензора Поворот же на 180° вокруг оси есть преобразование При этом изменяют знак и потому должны обратиться в нуль, а остальные из перечисленных выше компонент попарно переходят друг в друга, что приводит к равенствам Для того чтобы написать выражение для составить сумму в которой индексы пробегают значения

Здесь надо еще выразить компоненты в координатах через компоненты в исходных координатах . Это легко сделать, воспользовавшись тем, что компоненты тензора преобразуются как произведения соответствующих координат. Поэтому, например, из

следует, что

В результате получим

где — вещественные постоянные.

Соотношения между компонентами в координатах гласят, как это видно из

Класс получается добавлением к классу плоскости симметрии, перпендикулярной к оси третьего порядка (плоскость ). Отражение в этой плоскости есть изменение знака , а потому и у так что в (2) остается только член с одним коэффициентом 6.

Класс содержит, помимо оси третьего порядка, перпендикулярную к ней плоскость симметрии. Отражение в последней есть изменение знака , а потому должны быть равными нулю все компоненты в индексах которых встречается нечетное число раз. Учитывая также рассмотренные выше ограничения, налагаемые осью симметрии третьего порядка, найдем, что отличны от нуля только две компоненты у и Эти величины должны быть комплексно-сопряженными для того, чтобы Ф было вещественным. Обозначив

получим

Соответствующим выбором направления осей у можно обратить а или b в нуль.

2. То же для кристаллических классов, допускающих пироэлектричество.

Решение. Пусть ось совпадает с осью симметрии второго, третьего, четвертого или шестого порядка, а в классе перпендикулярна к плоскости симметрии. В классах плоскость совпадает с одной из плоскостей симметрии.

Ниже указаны все отличные от нуля компоненты для каждого из классов:

Соответствующим выбором направления осей в классе можно обратить в нуль еще три компоненты, а выбором осей у в классах одну компоненту (в классах же выражение инвариантно относительно поворотов на любой угол вокруг оси , и потому дальнейшее уменьшение числа отличных от нуля компонент невозможно).

3. Определить модуль Юнга (коэффициент пропорциональности между растягивающим напряжением и относительным удлинением) для плоскопараллельной пластинки непироэлектрического пьезоэлектрика в следующих случаях: а) пластинка растягивается обкладками закороченного конденсатора, б) пластинка растягивается обкладками незаряженного конденсатора, в) пластинка растягивается параллельно своей плоскости в отсутствие внешнего поля.

Решение, а) В этом случае напряженность поля внутри пластинки Единственная отличная от нуля компонента тензора — растягивающее напряжение (ось перпендикулярна к плоскости пластинки ). Из (17,8) имеем , откуда для модуля Юнга Е:

б) В этом случае в пластинке Из (17,6) и (17,8) имеем

Исключая из этих двух равенств найдем

в) В этом случае также растяжение же пусть происходит вдоль оси . Имеем

Исключая получим

4. Получить уравнение, определяющее скорость звука в пьезоэлектрической среде.

Решение. В этой задаче удобнее пользоваться как независимыми переменными величинами вместо Пишем F в виде

откуда

Уравнения движения теории упругости гласят

где — плотность среды, — вектор смещения, связанный с посредством

Уравнение дает

а напряженность поля выражаем через его потенциал:

чем удовлетворяется уравнение

В плоской звуковой волне пропорциональны и из написанных уравнений получаем

Исключив отсюда пишем условие совместности получающихся для уравнений

При каждом заданном направлении волнового вектора к это уравнение определяет три, вообще говоря, различных, фазовых скорости звука Характерной для пьезоэлектрической среды особенностью является сложная зависимость скорости от направления волны.

5. Пьезоэлектрический кристалл, относящийся к классу ограничен плоской поверхностью (плоскость ), проходящей через ось симметрии (ось ). Найти скорость поверхностных волн, распространяющихся перпендикулярно оси симметрии (вдоль оси ); в волне испытывают колебания смещение и потенциал электрического поля (J. L. Bleustein, 1968; Ю. В. Гуляев, 1969).

Решение. В рассматриваемых условиях в системе уравнений (4) и (5) отделяются два уравнения, содержащие только эти величины зависят от координат у (и от времени t), но не от . Отличные от нуля компоненты тензора напряжений и вектора индукции:

причем

и для краткости обозначено

постоянная пироэлектрическая индукция в уравнения и граничные условия не входит.

Уравнение (5) и z - компонента уравнения (4) дают для области, занятой пьезоэлектрической средой (полупространство

где перепишем эти уравнения в виде

где

В пустоте же (полупространство потенциал удовлетворяет уравнению

Эти уравнения должны решаться при граничных условиях на поверхности среды:

и при условиях

вдали от поверхности. Ищем решение в виде

причем

Уравнения (6), (7) и условия на бесконечности уже удовлетворены, а условия (8) дают три линейных однородных уравнения для А, В, С, условие разрешимости которых приводит к соотношению

Наконец, подставив в (9), найдем фазовую скорость волн

Поверхностное распространение этих волн специфично для пьезоэлектрической среды. При глубина проникновения , т. е. волна становится объемной.