Задачи

1. Определить самоиндукцию замкнутого тонкого провода с круговой формой сечения.

Решение. Магнитное поле внутри провода можно принять таким, как внутри бесконечного прямого цилиндра:

( — расстояние от оси провода, а — его радиус). Отсюда находим внутреннюю часть самоиндукции:

где l — длина рассматриваемого замкнутого провода.

Для вычисления замечаем, что поле вне тонкого провода не зависит от распределения тока по его сечению. В частности, энергия внешнего магнитного поля не изменится, если предположить, что ток течет только по поверхности провода. Но тогда внутри провода будет и можно вычислять энергию как полную энергию, по формуле (33,2).

Ввиду предположенного поверхностного распределения токов интеграл в этой формуле фактически сводится к линейному интегралу по контуру осевой линии провода, так что внешняя часть самоиндукции

где значение А в подынтегральном выражении берется на поверхности провода. При переходе к этой формуле учтено также, что в рассматриваемом приближении поле постоянно вдоль контура кругового сечения провода.

После того, как задача оказалась сведенной к вычислению сделаем другое предположение о распределении тока: пусть весь ток J течет вдоль осевой линии провода. Значение поля на поверхности провода в рассматриваемом приближении от этого не изменится (оно не изменилось бы вовсе у прямого провода кругового сечения). Тогда согласно формуле (30,14) имеем

где R — расстояние от элемента осевой линии провода до данной точки его поверхности. Разобьем интеграл на две части, в которых соответственно где — некоторая длина, малая по сравнению с размерами контура тока, но большая по сравнению с радиусом а провода. В интеграле по области можно пренебречь а и понимать R просто как расстояние между двумя точками контура тока.

Интеграл же по области можно считать направленным по касательной к данной точке контура. Обозначив единичный вектор в этом направлении через t, пишем:

Это выражение можно снова переписать в виде интеграла

где теперь уже снова понимается как расстояние между точками контура тока. Таким образом, складывая с интегралом по области , получим выражение

из которого произвольный параметр , как и должно быть, выпадает.

Таким образом, окончательно имеем:

Интегрирование распространяется здесь по всем парам точек контура, расстояние между которыми превышает

2. Определить самоиндукцию тонкого кольца (радиуса 6) из провода кругового сечения (радиуса а).

Решение. Подынтегральное выражение в формуле (2) задачи 1 зависит только от Центрального угла на который опирается хорда R окружности кольца, причем Поэтому имеем

Нижний предел интегрирования определяется из откуда Подставив это значение и сложив с получим с требуемой точностью

В частности, при

3. Определить растяжение кольцевого провода (с ) под действием магнитного поля протекающего по нему тока.

Решение. Внутренние напряжения, действующие вдоль оси провода и перпендикулярно к ней, определяются согласно (33,16) формулами

Подставив L из предыдущей задачи, получим

Отсюда искомое относительное удлинение кольца

(Е — модуль Юнга, — коэффициент Пуассона материала провода; см. VII § 5).

4. Определить самоиндукцию единицы длины двойного провода, состоящего из двух параллельных прямых проволок кругового сечения (радиусов а и ), отстоящих на расстояние h между их осями, причем по этим проволокам текут равные и противоположные токи J (рис. 19).

Решение. Векторный потенциал магнитного поля каждого из токов направлен параллельно осям проводов, и потому векторные потенциалы обоих полей складываются просто алгебраически. Для магнитного поля провода 1 с равномерно распределенным током имеем (в цилиндрических координатах)

где С — произвольная постоянная; на границе провода непрерывно. Аналогичные формулы для поля провода 2 получаются заменой а на 6 и изменением знака J. Интегрирование по площади сечения провода 1 в формуле (33,2) дает

Интегрирование же по сечению провода 2 дает такое же выражение с а вместо 6. Поэтому искомая самоиндукция единицы длины двойного провода

5. Определить самоиндукцию тороидального соленоида.

Решение. Рассматриваем соленоид как тороидальную проводящую поверхность, по которой циркулируют поверхностные токи с плотностью

( - полное число витков провода, J — ток в нем; координаты и размеры показаны на рис. 20). Магнитное поле вне соленоида а внутри

( — цилиндрические координаты). Действительно, это решение удовлетворяет уравнениям и граничному условию (34,2). Энергия магнитного поля внутри соленоида

интегрирование производится по контуру сечения тора и легко осуществляется путем введения угла согласно

Рис. 19.

В результате получаем для самоиндукции:

6. Определить поправку первого порядка по к выражению (34,3) (с ). Для самоиндукции цилиндрического соленоида, связанную с искажением поля вблизи его концов.

Рис. 20.

Решение. Самоиндукция соленоида вычисляется как двойной интеграл по его поверхности:

где - поверхностная плотность тока . В цилиндрических координатах

— угол между диагональными плоскостями, проходящими через Интегрируя по получим при

и окончательно

7. Определить, во сколько раз изменится самоиндукция плоского линейного контура, если поместить его на плоскую поверхность полубесконечной среды с магнитной проницаемостью . Внутренней частью самоиндукции провода пренебрегаем.

Решение. Из соображений симметрии очевидно, что в отсутствие среды магнитное поле тока симметрично относительно плоскости контура, а магнитные силовые линии пересекают эту плоскость нормально к ней; назовем это поле . Мы удовлетворим уравнениям поля и граничным условиям на поверхности полубесконечной среды, если положим в пустом полупространстве , а в среде . Действительно, этим обеспечивается непрерывность на граничнои плоскости, а циркуляция Н по любой силовой линии будет равна циркуляции по той же линии.

Отсюда легко заключить, что при введении среды полная энергия поля, а следовательно, и самоиндукция контура, умножается на