§ 17. Пьезоэлектрики

Внутренние напряжения, появляющиеся в изотропном диэлектрике в электрическом поле, представляют собой эффект, квадратичный по полю. Такой же эффект имеет место и в кристаллах, относящихся к ряду кристаллографических классов.

Но при определенных типах симметрии электрострикционные свойства кристаллов имеют существенно иной характер. Внутренние напряжения, возникающие в электрическом поле, в этих телах (пьезоэлектриках) пропорциональны первой степени поля. Соответственно имеет место и обратный эффект — деформирование пьезоэлектрика сопровождается появлением в нем поля, пропорционального величине деформации.

Интересуясь в пьезоэлектрике лишь основным, линейным эффектом, мы можем пренебречь в общей формуле (16,5) квадратичными по полю членами. Тогда

Ниже в этом параграфе мы будем пользоваться термодинамическими величинами, отнесенными к количеству вещества, заключенному в единице объема недеформированного тела (см. примечание на стр. 98). Понимая F в этом смысле, будем иметь просто

Соответственно термодинамическое соотношение для дифференциала dF будет

По поводу последнего члена надо сделать следующее замечание: в таком виде этот член (перенесенный сюда из (10,9)) относится, строго говоря, к единице объема деформированного тела. Не учитывая этого, мы допускаем ошибку, которая, однако, в данном случае (для пьезоэлектрика) является величиной более высокого порядка малости, чем остальные члены в (17,2).

В (17,2) роль независимых переменных играют компоненты тензора Иногда бывает удобно пользоваться в качестве таковых компонентами . Для этого надо ввести термодинамический потенциал, определяемый как

Для дифференциала этой величины будем иметь

Подчеркнем, что введение в электродинамике термодинамического потенциала Ф согласно формулам (17,3) и (17,4) связано со справедливостью соотношения (17,1) и потому возможно лишь для пьезоэлектрических тел.

Определив таким образом нужные нам термодинамические величины, перейдем к описанию пьезоэлектрических свойств кристаллов. Выбрав величины в качестве независимых переменных, мы должны рассматривать индукцию D как их функцию, а в разложении этой функции надо сохранить члены первого порядка по ним. Линейные члены разложения компонент вектора по степеням компонент тензора второго ранга в наиболее общем случае могут быть написаны в виде где совокупность постоянных составляет тензор третьего ранга (множитель введен для удобства). Поскольку тензор симметричен по своим индексам, то ясно, что и тензор можно считать симметричным по соответствующим двум индексам:

для наглядности мы отделяем запятой симметричную пару индексов от третьего индекса. Будем называть тензор пьезоэлектрическим. Его заданием полностью определяются пьезоэлектрические свойства кристалла.

Добавив пьезоэлектрические члены к выражению (13,1) для электрической индукции в кристалле, напишем

Соответствующие дополнительные члены появятся и в термодинамических величинах. У непьезоэлектрического кристалла в отсутствие поля термодинамический потенциал

где относится к недеформированному телу, а второй член представляет собой обычную упругую энергию, определяющуюся тензором упругих постоянных .

Для пьезоэлектрика же будем иметь

Вид последних трех членов определяется тем, что производные от Ф по (при заданных внутренних напряжениях и температуре) согласно формуле

должны дать выражения (17,6).

Зная Ф, можно получить согласно (17,4) формулу, выражающую тензор деформации через напряжения и поле Е:

Следует отметить, что смысл величин как упругих постоянных и диэлектрической проницаемости в пьезоэлектрике в определенном смысле условен. При выбранном нами определении они дают соответственно зависимость деформации от упругих напряжений при заданной напряженности поля и зависимость индукции от напряженности при заданных напряжениях. Если же деформирование происходит при заданной индукции поля или же мы рассматриваем зависимость индукции от напряженности при заданной деформации, то роль упругих коэффициентов и диэлектрической проницаемости будут играть другие величины, которые могут быть выражены (хотя и довольно сложным образом) через компоненты тензоров .

Определение поля в пьезоэлектрическом теле должно производиться одновременно с определением его деформации и представляет собой совместную задачу электростатики и теории упругости. Именно, следует искать совместное решение электростатических уравнений

с D из (17,6) и уравнений упругого равновесия

с соответствующими граничными условиями на поверхности тела и с учетом связи между и деформацией, даваемой формулами (17,8). В общем случае такая постановка задачи весьма сложна.

Задача очень упрощается для тела эллипсоидальной формы со свободной поверхностью (т. е. к которой не приложены никакие внешние механические силы).

В этом случае (§ 8) поле внутри тела, а потому и его деформация однородны, а все упругие напряжения — 0.

Наконец, займемся вопросом о том, какие типы кристаллической симметрии допускают существование пьезоэлектричества. Другими словами, надо рассмотреть ограничения, накладываемые условиями симметрии на компоненты тензора . В общем случае этот тензор (симметричный по индексам k и ) имеет 18 отличных от нуля независимых компонент, фактически же число независимых компонент обычно значительно меньше.

При всех преобразованиях симметрии данного кристалла все компоненты его тензора и должны оставаться неизменными по величине. Отсюда сразу следует, что во всяком случае не может быть пьезоэлектриком тело, обладающее центром симметрии (в том числе, конечно, изотропное тело). Действительно, при отражении в центре (изменение знака всех трех координат) меняют знак все компоненты тензора третьего ранга.

Из 32-х кристаллических классов допускают пьезоэлектричество всего 20. Сюда относятся, прежде всего, 10 перечисленных в § 13 классов, допускающих пироэлектричество (все пироэлектрики являются в то же время и пьезоэлектриками). Кроме того, пьезоэлектрическими являются кристаллы следующих 10 классов:

ромбическая система:

тетрагональная система

ромбоэдрическая система:

гексагональная система:

кубическая система:

Перечисление отличных от нуля компонент пьезоэлектрического тензора для всех классов дано в задачах к этому параграфу.

Упомянем здесь еще о родственном пьезоэлектричеству явлении, возникающем при «деформировании» жидкого кристалла; при этом мы будем иметь в виду нематические кристаллы. Напомним (см. V § 140), что эти жидкие среды характеризуются существованием некоторого выделенного направления преимущественной ориентации молекул. Это направление задается в каждой точке среды единичным вектором d — директором кристалла. В недеформированном жидком кристалле направление d постоянно вдоль всего его объема, в деформированном — функция координат. Разложению (17,6) соответствует в жидком кристалле выражение индукции в виде

где — скалярные коэффициенты (R. В. Meyer, 1969).

Два последних члена, описывающие рассматриваемый эффект, представляют собой наиболее общий полярный вектор, который можно составить из вектора d и его первых производных по координатам. Отметим, что выражение (17,11) автоматически оказывается инвариантным относительно изменения знака

Что касается тензора диэлектрической проницаемости нематического кристалла, то по своей симметрии он совпадает с таковым для одноосных кристаллов, причем роль оси симметрии играет местное (в каждой точке среды) направление директора. Тензор может быть представлен в виде

(17,12)

с двумя независимыми постоянными .