§ 61. Комплексное сопротивление

До тех пор, пока частота переменного тока достаточно мала, мгновенное значение силы тока в лилейном контуре определяется значением электродвижущей силы в тот же момент времени, согласно

где R — сопротивление провода постоянному току.

Но при произвольных частотах нет никаких оснований ожидать существования прямой связи между значениями в один и тот же момент времени. Можно лишь утверждать, что значение должно зависеть линейным образом от значений во все предыдущие моменты времени. Запишем символически эту связь в виде или, для обратной связи,

где Z — некоторый линейный оператор.

Если функции разложены в интегралы Фурье, то для каждой из их монохроматических компонент (зависящих от времени посредством множителя ) результат действия оператора Z сводится, в силу линейности последнего, к умножению на некоторую величину Z, зависящую от значения частоты:

Функция , вообще говоря, комплексна. Она называется комплексным сопротивлением или импедансом проводника.

Из сравнения (61,3) с (61,1) ясно, что обычное сопротивление R представляет собой нулевой член разложения функции по степеням . Для определения следующего члена надо учесть наряду с R также и самоиндукцию L проводника.

Рассмотрим линейный контур, в котором действует переменная электродвижущая сила . По определению последней работа, производимая в 1 с электрическим полем над движущимися в проводе зарядами, дается произведением . Эта работа частично переходит в джоулево тепло, а частично затрачивается на изменение энергии магнитного поля тока. По определению R и L джоулево тепло, выделяющееся в проводе в 1 с, есть , а магнитная энергия тока есть . Поэтому закон сохранения энергии выражается уравнением

или

Оперируя с квадратичными выражениями надо писать величины в виде вещественных функций. Но после того как получено линейное уравнение (61,4), можно перейти к монохроматическим компонентам в комплексном представлении: . Тогда уравнение (61,4) сводится к алгебраическому соотношению

Отделив в соотношении вещественную часть, получим

чем определяется амплитуда тока и сдвиг фаз между током и электродвижущей силой.

Вещественная часть выражения (61,5) совпадает с сопротивлением R, определяющим диссипацию энергии в контуре. Легко видеть, что и в общем случае произвольной зависимости имеется аналогичная связь между и диссипацией энергии (при заданной силе тока).

Усреднив по времени мощность потребляемую в контуре при протекании в нем периодического тока, мы найдем ту ее часть, которая систематически затрачивается на покрытие диссипативных потерь. Таким образом, отнесенная к 1 с диссипация энергии Q в контуре:

где выражены в комплексном виде (ср. примечание на стр. 284). Подставив сюда и обозначив вещественную и мнимую части Z соответственно как Z и :

получим

или, с помощью вещественной функции :

чем и устанавливается искомая связь.

Отметим, что поскольку Q — существенно положительная величина, то и Z всегда положительно:

Вычислим для провода кругового сечения при произвольных (но, разумеется, удовлетворяющих условиям квазистационарности) частотах, т. е. не пренебрегая при этом скин-эффектом. Для этого снова воспользуемся законом сохранения энергии, представив его в другом виде.

Разобьем мощность и J — вещественные выражения) на два члена, из которых один представляет теперь изменение энергии магнитного поля вне провода, а другой — полную энергию, потребляемую внутри провода (как на изменение энергии поля в нем, так и на выделение тепла). Вторую часть можно вычислить как полный поток энергии, втекающий в 1 с внутрь проводника через его поверхность. Таким образом, получим

где — внешняя часть самоиндукции провода, Е и Н—напряженности электрического и магнитного поля на его поверхности, а — его радиус, l — длина. Поле Н связано с током J соотношением . Поэтому, разделив написанное равенство , получим

Это уравнение линейно, и потому можно перейти к комплексному представлению величин. Тогда

откуда

(61,10)

При произвольных частотах сюда надо подставить (60,2) и (60,4):

При слабом скин-эффекте пользуемся разложениями (60,5); произведя вычисления с точностью до членов порядка и отделив вещественную часть, получим

В обратном случае сильного скин-эффекта с помощью выражений (60,7) получим

Из (61,11а) видно, что можно полагать при . В то же время

( взято из (34,1)). Сравнив с предыдущим неравенством, мы видим, что область частот, в которой следует пользоваться выражением (61,5), не пренебрегая в нем самоиндукцией, зависит от отношения и сравнительно узка.

На практике, однако, наиболее важен случай, когда основным носителем самоиндукции в цепи являются включенные в нее катушки, обладающие повышенной, по сравнению с растянутым проводом, самоиндукцией (см. § 34). В таких контурах область частот, в которой должна применяться формула (61,5) (т. е. уравнение (61,4) с постоянными R и L), достаточно широка.

Рассмотрим контур, находящийся во внешнем переменном магнитном поле Не, которое может иметь любое происхождение. Посредством Ее обозначим электрическое поле, которое индуцировалось бы переменным полем Не в отсутствие проводников. Как , так и очень слабо меняются на протяжении толщины тонкого провода (в противоположность собственному полю текущих по проводу токов).

Поэтому можно рассматривать циркуляцию Ее по контуру тока, не уточняя, где именно внутри провода этот контур проведен. Эта циркуляция есть не что иное, как электродвижущая сила , индуцируемая в контуре переменным внешним магнитным полем. Согласно интегральной форме уравнения Максвелла имеем

(61,13)

где — поток внешнего поля через рассматриваемый контур. Подставив это выражение в уравнение (61,4), получим

Если перенести член с самоиндукцией в правую сторону равенства, то это уравнение запишется в виде

(61-14)

где - полный магнитный поток, как от внешнего магнитного поля, так и от собственного поля тока. В таком виде это уравнение выражает собой закон Ома для цепи в целом, т. е. равенство между RJ и полной электродвижущей силой в цепи.

Формулировка уравнения (61,14), как выражающего собой закон Ома, позволяет обобщить его на случай, когда с течением времени меняется также и форма самого проводящего контура. При этом функцией времени будет и самоиндукция L и вместо (61,14) надо писать

При выводе же из закона сохранения энергии необходимо было бы учитывать еще работу, затрачиваемую на деформацию проводника.

Если имеется несколько расположенных вблизи друг от друга контуров с токами , то для каждого из них роль в уравнении (61,14) играет сумма магнитных потоков от других контуров (и от внешнего постороннего поля, если таковое имеется). Магнитный поток, создаваемый током через контур тока , есть , где — коэффициент взаимной индукции обоих контуров. Поэтому получаем следующую систему уравнений для переменного тока в контурах:

В сумму по b включен также и член с самоиндукцией ), есть электродвижущая сила, создаваемая в контуре источниками, посторонними по отношению к рассматриваемой системе токов.

Для периодических (монохроматических) токов система дифференциальных уравнений (61,16) сводится к системе алгебраических уравнений:

(61,17)

где величины

составляют матрицу импеданса. Подобно (61,5) выражения (61,18) представляют собой первые члены разложения функций по степеням частоты.

Отметим, что в этом приближении отсутствует взаимное влияние контуров на вещественную часть импеданса. Такое влияние осуществляется тем, что магнитное поле переменного тока в одном проводнике создает токи Фуко (а с ними и дополнительную диссипацию энергии) в другом проводнике. Для линейных проводников этот эффект ничтожен. Он может, однако, стать заметным при наличии расположенных вблизи них массивных проводников.

Наконец, остановимся на вопросе о том, каким образом связаны полученные в этом параграфе уравнения переменных токов в линейных контурах с общими уравнениями переменного магнитного поля в произвольных проводниках. Проследим за этой связью на простейшем примере тока, возникающего в контуре при выключении действовавшей в нем до момента времени постоянной электродвижущей силы Из уравнения (61,4) имеем:

(61,19)

Мы видим, что после выключения электродвижущей силы ток затухает со временем по экспоненциальному закону с декрементом

(61,20)

С точки зрения точной формулировки задачи эта у является наименьшей из величин получающихся в результате решения точного уравнения (58,10) для данного проводника. Среди значений для линейного проводника есть одно (наименьшее из всех), которое по порядку величины в раз меньше остальных; это и есть значение (61,20).