ГЛАВА IX. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

§ 75. Уравнения поля в диэлектриках в отсутствие дисперсии

В § 58 были написаны уравнения переменного электромагнитного поля в металлах:

справедливые при достаточной медленности изменения поля: частоты поля должны быть такими, чтобы оставались справедливыми зависимости j от Е и В от Н (если отличие В от Н вообще существенно), относящиеся к стационарному случаю.

Теперь мы обратимся к аналогичному вопросу для переменного электромагнитного поля в диэлектрической среде и сформулируем уравнения, справедливые для таких частот, при которых связь между D и Е и между В и Н остается еще такой же, как в постоянных полях. Если, как это обычно бывает, эта связь сводится к простой пропорциональности, то указанное условие означает, что можно полагать

со статическими значениями .

Эти соотношения нарушаются (или, как говорят, появляется дисперсия ) при частотах, сравнимых с собственными частотами тех молекулярных или электронных колебаний, с которыми связано появление электрической или магнитной поляризации вещества. Порядок величины этих частот зависит от рода вещества и меняется в очень широких пределах. Он может быть также совершенно различным для электрических и магнитных явлений.

Уравнения

получаются непосредственно путем замены и h в точных микроскопических уравнениях Максвелла их усредненными значениями Е и В. Поэтому эти уравнения ни при каких условиях не нуждаются в изменении. Что касается уравнения

то оно получается (см. § 6) путем усреднения точного микроскопического уравнения причем используется лишь то обстоятельство, что полный заряд тела равен нулю. Очевидно, что этот вывод ни в какой степени не зависит от предполагавшейся в § 6 стационарности поля, и потому уравнение (75,5) сохраняет свой вид и в переменных полях.

Еще одно уравнение должно быть получено путем усреднения точного уравнения

Непосредственное усреднение дает

Однако при зависящем от времени макроскопическом поле установление связи среднего значения с ранее введенными величинами довольно затруднительно. Проще произвести требуемое усреднение не непосредственно, а следующим более формальным путем.

Предположим временно, что в диэлектрик введены посторонние по отношению к его веществу заряды с объемной плотностью . При своем движении эти заряды создают «сторонний» ток а сохранение этих зарядов выражается уравнением непрерывности

Вместо уравнения (75,5) будем иметь

(см. (6,8)). Продифференцировав это равенство по времени и воспользовавшись уравнением непрерывности, получим

или

Отсюда следует, что вектор, стоящий под знаком может быть представлен в виде ротора некоторого другого вектора, который обозначим как ; тогда

Вне тела это уравнение должно совпадать с точным уравнением Максвелла для поля в пустоте, соответственно чему вектор Н совпадает с напряженностью магнитного поля. Внутри же тела в статическом случае ток связан с магнитным полем уравнением

где Н — величина, введенная в § 29 и определенным образом связанная со средней напряженностью В. Отсюда следует, что в пределе стремящейся к нулю частоты вектор Н в уравнении (75,8) совпадает со статической величиной а предполагаемая нами здесь «медленность» изменения поля означает, что и для этих переменных полей сохраняется та же зависимость Н (В). Таким образом, Н становится вполне определенной величиной, и, опуская вспомогательную величину мы приходим окончательно к уравнению

Величину называют током смещения.

Это уравнение заменяет собой для диэлектриков первое из уравнений (75,1), описывающих поле в металлах. Может возникнуть мысль о том, что и в металлах в этом уравнении для переменного поля следует учитывать член с производной , т. е. писать

(75,10)

с постоянным коэффициентом . Однако для хороших проводников (истинных металлов) введение такого члена было бы бессмысленным. Два члена в правой стороне уравнения (75,10) представляют собой по существу первые два члена разложения по степеням частоты поля. Поскольку последняя предполагается достаточно малой, то учет второго члена мог бы, в лучшем случае, означать введение малой поправки. В действительности он не может иметь даже этого смысла, так как фактически в металлах поправки от влияния пространственной неоднородности поля становятся заметными раньше, чем поправка по частоте (см. примечание на стр. 282).

Есть, однако, особая категория тел (плохие проводники), для которых уравнение (75,10) может иметь смысл.

В силу особых причин (малое число электронов проводимости в полупроводниках, малая подвижность ионов в растворах электролитов) проводимость этих веществ аномально мала, и потому второй член в правой стороне уравнения (75,10) может сравниться с первым или даже превысить его уже при таких частотах, для которых можно еще считать а и постоянными. В монохроматическом поле отношение второго члена к первому есть Если это отношение мало, то тело ведет себя как обычный проводник с проводимостью а. При частотах же оно ведет себя как диэлектрик с диэлектрической проницаемостью е.

В однородной среде с постоянными уравнения (75,3-5) и (75,9) принимают вид

(75,11)

Исключая из этих уравнений обычным образом Е (или Н), получим

и поскольку , то мы приходим к волновому уравнению

Отсюда видно, что скорость распространения электромагнитных волн в однородной диэлектрической среде есть

(75,13)

Плотность потока энергии складывается из потока энергии электромагнитного поля и потока энергии, переносимой непосредственно движущимся веществом. В неподвижной среде (которую мы и рассматриваем) последняя часть отсутствует и плотность потока энергии в диэлектрической среде дается той же формулой (30,20)

(75,14)

что и в металлах. В этом легко убедиться, вычислив Используя уравнения (75,4) и (75,9), получим

(75,15)

в соответствии с выражением

для дифференциала внутренней энергии диэлектрика при заданных плотности и энтропии.

Как известно, требование симметричности четырехмерного тензора энергии-импульса всякой замкнутой системы (в данном случае — диэлектрика в электромагнитном поле) приводит к равенству (с точностью до множителя ) плотности потока энергии и пространственной плотности импульса системы (см. II §§ 32, 94). Поэтому последняя равна

(75,16)

Это обстоятельство должно быть, в частности, учтено при определении сил, действующих на диэлектрическое вещество в переменном электромагнитном поле. Силу f (отнесенную к единице объема) можно вычислять по тензору напряжений как

При этом, однако, необходимо учесть, что есть плотность потока импульса, который идет на изменение импульса как вещества, так и электромагнитного поля. Если понимать под f силу, действующую лишь на среду, то из написанного выражения надо вычесть изменение импульса единицы объема поля:

В постоянном поле последний член равен нулю, и потому этот вопрос раньше не возникал.

Медленность изменения поля позволяет воспользоваться для тензора напряжений прежними выражениями, полученными для постоянного поля. Так, для жидкой диэлектрической среды дается суммой электрической (15,9) и магнитной (35,2) частей.

Но при дифференцировании этих выражений по координатам надо учесть, что вместо уравнений для постоянного поля (в отсутствие токов) мы имеем теперь уравнения (75,12). Это приводит к появлению новых членов

которые теперь равны не нулю, а

Таким образом, искомая сила:

Последний член в этом выражении называют силой Абрагама {М. Abraham, 1909).