§ 86. Отражение и преломление волн

Рассмотрим отражение и преломление монохроматической плоской электромагнитной волны на плоской границе раздела между однородными средами. Падение происходит из прозрачной среды (среда 1) для второй же среды предположения о прозрачности пока делать не будем. Будем отмечать величины, относящиеся к падающей и отраженной волнам, соответственно индексами 0 и 1, а к преломленной волне — индексом 2 (рис. 46). Направление нормали к плоскости раздела выберем в качестве оси (с положительным направлением в глубь среды 2).

Ввиду полной однородности в плоскости зависимость решения уравнений поля от этих координат во всем пространстве должна быть одинаковой. Это значит, что компоненты волнового вектора для всех трех волн одинаковы.

Отсюда следует прежде всего, что направления распространения всех волн лежат в одной плоскости; выберем ее в качестве плоскости . Из равенств

следует для z-компонент этих векторов:

в обеих средах полагаем . Вектор , по определению, веществен. Вместе с ним веществен также Величина же в поглощающей среде комплексна, причем корень должен быть взят с таким знаком, чтобы было в соответствии с тем, что преломленная волна затухает в глубь среды 2.

Если прозрачны обе среды, то из равенств (86,1) следуют известные законы отражения и преломления

Рис. 46.

Для определения амплитуд отраженной и преломленной волн надо обратиться к граничным условиям на поверхности раздела (z = 0). При этом мы рассмотрим отдельно два случая — когда электрическое поле лежит в плоскости падения или перпендикулярно к ней; тем самым мы рассматриваем и общий случай, когда может быть разложено на две такие компоненты.

Предположим сначала, что перпендикулярно к плоскости падения; из соображений симметрии очевидно, что то же будет относиться и к полям в отраженной и преломленной волнах. Вектор же Н лежит в плоскости Граничные условия требуют непрерывности ; согласно (83,3) .

Поле в среде 1 есть сумма полей падающей и отраженной волн, так что мы получаем два уравнения:

Экспоненциальные множители в Е сокращаются в обеих сторонах равенства ввиду одинаковости (а также частоты со) во всех трех волнах; ниже под Е подразумеваются везде комплексные амплитуды волн. Решение написанных уравнений приводит к следующим формулам Френеля-.

Если прозрачны обе среды, то с помощью соотношений (86,3) можно представить эти формулы в виде

Аналогичным образом можно рассмотреть случай, когда Е лежит в плоскости падения; при этом удобнее производить вычисления для магнитного поля, перпендикулярного к плоскости падения. В результате получаются еще две формулы Френеля:

Если прозрачны обе среды, то эти формулы можно представить в виде

Коэффициент отражения R определяется как отношение среднего (по времени) отраженного от поверхности потока энергии к падающему потоку. Каждый из этих потоков дается средним значением z-компоненты вектора Пойнтинга (83,11) соответствующей волны:

При нормальном падении оба случая поляризации эквивалентны и коэффициент отражения дается формулой

Эта формула справедлива как для прозрачной, так и для поглощающей отражающей среды. Если ввести согласно то, например, при падении из пустоты получим

Дальнейшее обсуждение полученных формул произведем в предположении прозрачности обеих сред. Предварительно сделаем следующее общее замечание. Граница раздела между двумя различными средами представляет собой в действительности не геометрическую поверхность, а тонкий переходный слой. Справедливость формул (86,1) не связана с какими бы то ни было предположениями о характере этого слоя. Вывод же формул Френеля, основанный на использовании условий на границе раздела, предполагает малость толщины переходного слоя по сравнению с длиной волны к. Обычно толщина сравнима с междуатомными расстояниями, во всяком случае малыми по сравнению с к (в противном случае было бы вообще невозможным макроскопическое рассмотрение поля); поэтому и условие обычно выполняется. В обратном же предельном случае явление преломления имело бы совсем другой характер. При выполнены условия применимости геометрической оптики мало по сравнению с размерами неоднородностей среды). Поэтому в таком случае можно было бы рассматривать распространение волны как распространение лучей, испытывающих в переходном слое рефракцию, но проходящих через него без всякого отражения. Другими словами, коэффициент отражения был бы равен нулю.

Вернемся к формулам Френеля. При отражении от прозрачной среды коэффициенты пропорциональности между в этих формулах вещественны. Это значит, что фаза волны либо остается неизменной, либо испытывает скачок на смотря по знаку этих коэффициентов. В частности, фаза преломленной волны всегда совпадает с фазой падающей волны. Отражение же может сопровождаться изменением фазы. Так, при нормальном падении фаза волны не меняется, если . Если же то векторы имеют противоположные знаки, т. е. происходит изменение фазы волны на .

Коэффициенты отражения при наклонном падении даются согласно (86,5) и (86,7) формулами

Здесь и ниже индексы отмечают случаи, когда поле Е соответственно перпендикулярно или параллельно плоскости падения. Отметим следующую симметрию: выражения (86,10) не меняются при взаимной замене (фазы же отраженных волн при этом меняются, согласно формулам (86,5) и (86,7), на ). Другими словами, коэффициент отражения для волны, падающей из среды 1 под углом равен коэффициенту отражения для волны, падающей из среды 2 под углом .

Замечательным свойством обладает отражение света, падающего под таким углом при котором (отраженный и преломленный лучи при этом взаимно перпендикулярны). Обозначим это значение посредством написав и воспользовавшись законом преломления (86,3), получим

(86,11)

При имеем обращается в нуль. Поэтому при любом направлении поляризации света, падающего под этим углом, отраженный свет будет поляризован так, что электрическое поле в нем перпендикулярно к плоскости падения. Таким же поляризованным будет отраженный свет и при падении естественного света; все компоненты с другой поляризацией при этом вообще не отразятся. Угол называют углом полной поляризации или углом Брюстера. Отметим, что, в то время как отражение может приводить к полной поляризации естественного света, в преломленном свете полная поляризация не достигается ни при каком угле падения.

Отражение и преломление поляризованного света всегда приводит снова к плоскополяризованному свету, но с направлением поляризации, вообще говоря, не совпадающим с таковым у падающего света. Пусть - угол между направлением и плоскостью падения, a и — аналогичные углы для отраженной и преломленной волн. С помощью формул (86,5) и (86,7) легко получить соотношения

(86,12)

Углы совпадают при всех углах падения лишь в очевидных случаях они совпадают также при нормальном и скользящем падениях (в последнем случае преломленная волна вообще отсутствует).

Во всех же остальных случаях из (86,12) следуют (учитывая, что и полагая, что неравенства

Таким образом, направление Е при отражении поворачивается от плоскости падения, а при преломлении — к ней.

Сравнение двух формул (86,10) показывает, что при всех углах падения (за исключением только )

Поэтому, например, при падении естественного света отраженный свет оказывается частично поляризованным с преимущественным направлением электрического поля, перпендикулярным к плоскости падения. Преломленный же свет будет частично поляризованным с преимущественным направлением Е в плоскости падения.

Характер зависимости от угла падения существенно различен. Коэффициент монотонно возрастает по мере увеличения начиная от значения (86,8) при Коэффициент же равный тому же значению (86,8) при по мере увеличения сначала убывает, обращается в нуль при и лишь затем начинает монотонно возрастать.

При этом надо различать два случая. Если отражение происходит, как говорят, от оптически более плотной среды, т. е. то возрастание продолжается вплоть до (скользящее падение), когда оба достигают значения 1. Если же отражающая среда оптически менее плотная, то оба коэффициента обращаются в 1 уже при угле падения где определяется равенством

(86,13)

и называется предельным углом полного отражения. При угол преломления т. е. преломленная волна распространяется параллельно поверхности раздела.

Отражение под углами от оптически менее плотной среды требует особого рассмотрения. В этом случае (см. (86,2)) часто мнимо, т. е. поле в преломляющей среде затухает. Затухание волны в глубь среды при отсутствии в ней истинного поглощения (диссипации энергии) означает, что поток энергии из первой во вторую среду в среднем отсутствует (путем простого вычисления легко непосредственно убедиться в том, что вектор S среднего потока энергии во второй среде действительно имеет лишь -компоненту). Другими словами, вся падающая на границу раздела энергия отражается обратно в первую среду, т. е. коэффициенты отражения

Это явление называется полным отражением. В последнем равенстве для можно убедиться, разумеется, и непосредственно с помощью формул Френеля (86,4) и (86,6).

При коэффициенты пропорциональности между становятся комплексными величинами вида Величины же и R и даются квадратами модулей этих коэффициентов, равными единице. Эти формулы, однако, позволяют определить не только отношение абсолютных значений поля в отраженной и падающей волнах, но и разницу в их фазах. Для этого надо представить их в виде

Имеем

Таким образом, полное отражение сопровождается изменением фазы волны, различным, вообще говоря, для компонент поля, параллельной и перпендикулярной к плоскости падения. Поэтому при отражении волны, поляризованной в плоскости, наклонной к плоскости падения, отраженная волна будет эллиптически поляризована. Для разности фаз легко получается выражение

(86,15)

Эта разность обращается в нуль лишь при .