ГЛАВА XIV. ПРОХОЖДЕНИЕ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО

§ 113. Ионизационные потери быстрых частиц в веществе. Нерелятивистский случай

Быстрая заряженная частица, проходя через вещество, ионизирует его атомы и тем самым теряет свою энергию. В газах ионизационные потери могут быть определены как результат столкновений быстрой частицы с отдельными атомами. В конденсированной же среде во взаимодействие с пролетающей частицей может вовлекаться одновременно много атомов. Влияние этого обстоятельства на потерю энергии частицей является, с макроскопической точки зрения, результатом диэлектрической поляризации среды ее зарядом. Мы рассмотрим этот эффект сначала для случая нерелятивистских скоростей частицы. Как выясняется из результатов, в этом случае поляризация среды мало отражается на величине потерь. Соответствующий вывод, однако, представляет методический интерес ввиду дальнейших применений аналогичного метода.

Выясним прежде всего условия, допускающие макроскопическое рассмотрение этого явления. В спектральное разложение поля, создаваемого движущейся (со скоростью v) частицей на расстоянии от ее пути, входят главным образом частоты порядка (обратное «время столкновения»). Ионизацию же атома могут производить компоненты поля с частотами где — некоторая средняя частота, отвечающая движению большинства электронов в атоме. Поэтому частица будет взаимодействовать одновременно со многими атомами, если длина велика по сравнению с междуатомными расстояниями; в конденсированных телах последние совпадают (по порядку величины) с размерами а самих атомов. Таким образом, мы приходим к условию т. е. скорость ионизирующей частицы должна быть велика по сравнению со скоростями атомных электронов (или по крайней мере большинства из них).

Определим поле, создаваемое заряженной частицей, движущейся в материальной среде.

В нерелятивистском случае достаточно рассмотреть лишь электрическое поле, определяющееся одним только скалярным потенциалом Последний удовлетворяет уравнению Пуассона

(113,1)

в котором диэлектрическая проницаемость понимается в операторном смысле, а выражение в правой стороне равенства есть плотность, создаваемая точечным зарядом , движущимся с постоянной скоростью V.

Разложим в интеграл Фурье по координатам:

Применив к обеим сторонам этого равенства оператор Лапласа, найдем, что компонента Фурье от равна

С другой стороны, взяв компоненту Фурье от обеих сторон уравнения (113,1), имеем

Сравнив обе формулы, получаем

Отсюда видно, что зависит от времени посредством множителя . Но оператор , действуя на функцию , умножает ее на Поэтому окончательно имеем для следующее выражение:

Компонента Фурье напряженности поля связана с компонентой Фурье потенциала посредством

Таким образом,

Полная напряженность поля получается обратным суммированием ее компонент Фурье:

Интересующая нас потеря энергии движущейся частицей есть не что иное, как работа, производимая обратной силой торможения , действующей на частицу со стороны создаваемого ею поля. Взяв значение поля в той точке в которой находится частица, мы получим в подынтегральном выражении в (113,4) множитель который сокращается с множителем в выражении (113,3) для Поэтому сила торможения F дается следующим интегралом:

Заранее очевидно, что сила F направлена против скорости v; направление последней выберем в качестве оси Введя обозначения и заменив на перепишем абсолютную величину F в виде

(о выборе верхнего предела интегрирования по q см. ниже).

Необходимо сделать еще следующее замечание по поводу интегрирования по в формуле (113,5). При функция и интеграл расходится (логарифмически). Это обстоятельство связано с тем, что из поля Е в действительности надо было бы вычесть то поле, которое имелось бы при движении частицы в пустоте (т. е. при ); ясно, что это поле не имеет отношения к торможению частицы в веществе. Такое вычитание привело бы к замене в подынтегральном выражении (113,5) на после чего интеграл будет сходиться. Можно, однако, достичь того же результата без указанной замены, если условиться понимать интегрирование в пределах от до как интегрирование в симметричных пределах от до после чего Ввиду четности функции вещественная часть подынтегрального выражения есть нечетная функция частоты и при таком способе интегрирования дает нуль; интеграл же от мнимой части подынтегрального выражения сходится.

Ниже нам будет иногда удобно пользоваться обозначением

(113,6)

где - соответственно четная и нечетная функции, причем

Формулу (113,5) можно переписать в явно вещественном виде:

Потеря энергии частицей на единице длины ее пути есть работа силы торможения на этом пути, т. е. как раз совпадает с величиной

Согласно общим правилам квантовой механики фурье-компонента поля с волновым вектором к передает ионизационному электрону (б-электрону) импульс к. При достаточно больших значениях q имеем так что передаваемый импульс приближенно совпадает с Заданному значению q соответствуют столкновения с прицельным расстоянием . Поэтому условие применимости рассматриваемого макроскопического метода требует . В соответствии с этим выберем в качестве верхнего предела интегрирования значение удовлетворяющее условию величина есть торможение быстрой частицы с передачей атомному электрону импульса, не превышающего

Произведя в (113,7) интегрирование по получим

(113,8)

Эта формула в своем общем виде уже не может быть преобразована дальше, но ее можно представить в более удобной форме путем введения соответствующих обозначений.

Предварительно вычислим интеграл

Для этого замечаем, что если производить интегрирование в комплексной плоскости со по контуру, состоящему из вещественной оси и бесконечно удаленной верхней полуокружности а, то интеграл обратится в нуль, так как подынтегральное выражение не имеет полюсов в верхней полуплоскости. При больших значениях аргумента функция определяется формулой (78,1):

(113,9)

Интегрирование по бесконечно удаленной полуокружности а производится с помощью этой формулы, и в результате получаем

(113,10)

Введем некоторое среднее значение частоты движения атомных электронов, определяемое равенством

С помощью этого обозначения формула (113,8) напишется в виде

(113,12)

Сделаем в этом месте следующее замечание. По виду формулы (113,7) или (113,11) можно было бы думать, что заметный вклад в ионизационное торможение (113,12) вносят только те области частот, в которых имеется существенное поглощение. Это, однако, необязательно, и в указанных формулах может содержаться заметный вклад также от областей, в которых мало. Дело в том, что в таких областях функция может проходить через нуль, а нули являются полюсами подынтегрального выражения в (113,5). В действительности, конечно, не равно нулю строго, и потому нуль функции расположен не на самой вещественной оси, а чуть ниже . Это значит, что при использовании проходящего через нуль вещественного выражения для полюс подынтегрального выражения должен быть обойден сверху, и это дает соответствующий вклад в интеграл. Так, если функция дается формулой (84,5), то вклад в торможение (113,12), возникающий от обхода полюсов равен, как легко убедиться прямым вычислением по (113,7),

Для того чтобы найти торможение с передачей импульса, не превышающего некоторого значения надо «сшить» формулу (113,12) с формулой квантовомеханической теории столкновений, соответствующей торможению при столкновениях с отдельными атомами.

Это можно сделать благодаря тому, что области применимости обеих формул перекрываются. Как известно из теории столкновений, торможение с передачей импульса в интервале есть

(113,13)

причем эта формула применима (в нерелятивистском случае) для любых значений допускаемых законами сохранения импульса и энергии, при условии лишь, чтобы передаваемая энергия была мала по сравнению с первоначальной энергией быстрой частицы . Торможение же со всеми значениями q между есть соответственно

При прибавлении этой величины к формуле (113,12) в последней просто заменяется на так что

(113,14)

Если атомному электрону передается большой (по сравнению с атомными) импульс то получаемая им энергия равна Введя эту величину, напишем

(113,15)

Формулы (113,14-15) определяют торможение быстрой частицы путем ионизации с передачей энергии, не превышающей определенного значения малого по сравнению с первоначальной энергией частицы. Подчеркнем, что при таком условии формулы справедливы в равной степени для торможения как быстрых электронов, так и быстрых тяжелых частиц.

Формула (113,15) отличается от результата микроскопической теории, не учитывающей взаимодействия между атомами (см. III § 149, формула (149,14)), лишь определением «энергии ионизации» , роль которой играет теперь Однако средняя (по электронам) энергия ионизации атома обычно вообще мало зависит от его взаимодействия с другими атомами, так как основную роль в ней играют электроны внутренних оболочек, почти не затрагиваемых этим взаимодействием.

К тому же в данном случае эта величина входит под знаком логарифма, и потому способ ее точного определения тем более слабо сказывается на величине торможения.

При столкновении тяжелой частицы с электроном даже максимальный передаваемый импульс мал по сравнению с импульсом частицы Поэтому изменение энергии тяжелой частицы равно приравнивая эту величину энергии электрона, получим

откуда и затем . Подставив это значение в (113,15) вместо получим полное ионизационное торможение тяжелой частицы:

Эта формула отличается от обычно используемой (см. III (150,10)) лишь определением ионизационной энергии

Проследим, каким образом определенная согласно (113,11) величина переходит в разреженной среде в среднюю энергию ионизации отдельного атома, определенную согласно формуле III (149,11). Для этого замечаем, что в разреженном газе (который для простоты полагаем состоящим из одинаковых атомов) диэлектрическая проницаемость

где — число атомов в единице объема, а — поляризуемость одного атома; при этом Для мнимой части величины имеем

Поляризуемость атома дается формулой IV (85,13); отделив в ней мнимую часть (с помощью формулы IV (75,19)), получим при

где — энергии основного и возбужденных состояний атома. Подставив это выражение в (113,11), произведя интегрирование и заменив придем к определению III(149,11).