§ 91. Распространение электромагнитных волн в волноводах

В отличие от рассмотренных в предыдущем параграфе резонаторов, имеющих конечный объем, волновод представляет собой полость неограниченной длины — бесконечно длинную полую трубу. В то время как собственные колебания в резонаторе представляют собой стоячие волны, в волноводе волна является стоячей лишь в поперечных направлениях, а в направлении вдоль длины трубы возможно распространение бегущих волн.

Рассмотрим прямолинейный волновод с произвольной (односвязной) формой поперечного сечения, неизменной вдоль его длины. Будем считать сначала, что стенки волновода являются идеально проводящими. Направление длины волновода выберем в качестве оси . В волне, бегущей вдоль оси z, зависимость всех величин от z дается множителем вида с постоянным

Все возможные в таком волноводе электромагнитные волны можно разбить на два типа: в одном из них а в другом (Rayleigh, 1897). Волны первого типа, с чисто поперечным магнитным полем, называют волнами электрического типа или Е-волнами. Волны же с чисто поперечным электрическим полем называют волнами магнитного типа или Н-волнами.

Рассмотрим сначала -волны; х- и у-компоненты уравнений (90,1) дают

Отсюда

где введено обозначение

Таким образом, в -волне все поперечные компоненты Е и Н могут быть выражены через продольную компоненту электрического поля. Последняя же должна быть определена путем решения волнового уравнения, сводящегося к двумерному уравнению

( - двумерный оператор Лапласа). Граничные условия к этому уравнению заключаются в обращении в нуль касательных составляющих Е на стенке волновода. Для этого достаточно потребовать

(91,3)

Согласно формулам (91,1) двумерный вектор с составляющими пропорционален двумерному градиенту величины .

Поэтому при выполнении условия (91,3) автоматически обратится в нуль также и тангенциальная составляющая Е в плоскости ху.

Аналогичным образом, в Н-волне поперечные составляющие Е и Н могут быть выражены через продольную компонепту магнитного поля согласно формулам

Продольное же поле дается решениями уравнения

с граничным условием

(91,6)

Это условие обеспечивает согласно формулам (91,4) обращение в нуль нормальной компоненты Н.

Таким образом, задача об определении электромагнитного поля в волноводе сводится к нахождению решений двумерного волнового уравнения вида с граничным условием на контуре сечения. Для заданного контура такие решения имеются лишь при вполне определенных собственных значениях параметра

Каждому собственному значению соответствует своя зависимость

(91,7)

между частотой со и волновым вектором Скорость распространения волны вдоль длины волновода дается производной

При заданном она пробегает значения от 0 до с, когда меняется от 0 до .

Средняя (по времени) плотность потока энергии вдоль длины волновода дается -компонентой вектора Пойнтинга. Простое вычисление с помощью формул (91,1) дает для -волны

Полный поток энергии q получается путем интегрирования по площади сечения волновода. Имеем

Первый интеграл берется по контуру сечения и обращается в нуль в силу граничного условия Во втором же интеграле заменяем на и окончательно получаем

Для Н-волны получается такое же выражение с вместо

Аналогичным образом можно вычислить плотность электромагнитной энергии W (отнесенную к единице длины волновода). Проще, однако, получить W непосредственно из q, поскольку должно быть . Так, из (91,8) и (91,9) получим

Из (91,7) следует, что для каждого типа волн (соответствующих определенному значению ) существует минимальное возможное значение частоты, равное . При меньших частотах распространение данного типа волн становится невозможным. Но среди всех собственных значений есть наименьшее, , тоже отличное от нуля (см. ниже). Поэтому мы приходим к выводу, что существует нижняя граница частот, , за которой вообще невозможно распространение вдоль волновода каких бы то ни было волн. По порядку величины , где а — поперечные размеры трубы.

Это утверждение, однако, справедливо лишь для волноводов с односвязной формой сечения, которые мы до сих пор и имели в виду. Положение совершенно меняется при многосвязной форме сечения. В таких волноводах, наряду с описанными выше Е- и Н-волнами, оказывается возможным распространение еще одного типа волн, частота которых не ограничена никакими условиями.

Этот тип волн так называемая главная волна характеризуется тем, что скорость ее распространения совпадает со скоростью света с. Выясним основные свойства этой волны; одновременно мы увидим, почему этот тип волн невозможен при односвязной форме сечения волновода.

Все компоненты поля в главной волне удовлетворяют двумерному уравнению Лапласа При граничном условии единственное решение этого уравнения, регулярное во всей области (одно- или многосвязной), есть Поэтому в главной волне .

При граничном же условии регулярное решение . Легко, однако, видеть, что эта может быть только нулем (напомним, что означает величину, не зависящую от х, у).

Действительно, проинтегрировав уравнение

по площади сечения, получаем

ввиду равенства на контуре сечения и постоянства по его площади отсюда следует, что

Таким образом, главная волна чисто поперечна. При и (-компоненты уравнений (90,1) дают

т. е. поля Е и Н взаимно перпендикулярны и равны друг другу по величине. Для определения этих полей имеем уравнения

с граничным условием .

Мы видим, что зависимость Е (а с ним и Н) от х, у дается решением двумерной электростатической задачи: , где потенциал удовлетворяет уравнению с граничным условием . В односвязной области это граничное условие приводит к (а потому как единственному решению, регулярному во всей области. Тем самым доказывается невозможность распространения этого типа волн по волноводам с односвязным сечением. В многосвязной же области значение в граничном условии не обязано быть одним и тем же на различных граничных контурах, и тогда уравнение Лапласа имеет нетривиальные решения. При этом распределение электрического поля в поперечном сечении волновода соответствует плоскому электростатическому полю между обкладками конденсатора, находящимися при заданной разности потенциалов.

До сих пор мы предполагали стенки волновода идеально проводящими. Наличие же у стенки малого, но все же конечного импеданса приводит к появлению потерь и тем самым к затуханию волны при ее распространении вдоль волновода. Коэффициент затухания может быть вычислен аналогично тому, как в предыдущем параграфе было вычислено затухание со временем электромагнитных колебаний в резонаторе.

Количество энергии, диссипируемой в 1 с в стенках волновода (отнесенное к единице его длины), дается интегралом

взятым по контуру сечения; Н есть магнитное поле, вычисленное в предположении

Разделив эту величину на удвоенный поток энергии q вдоль волновода, мы получим искомый коэффициент затухания а. При таком определении а дает скорость затухания амплитуды волны, убывающей вдоль длины волновода, как

Выражая все величины через Ее или согласно формулам (91,1) или (91,4), получим следующие формулы для коэффициента поглощения Е-волны:

и для Н-волны:

(91,13)

Для фактического вычисления может оказаться удобным преобразовать стоящие в знаменателях поверхностные интегралы в интегралы по контуру. Приведем получающиеся таким образом формулы, вывод которых аналогичен выводу формулы (90,8):

Когда (т. e. частота ), выражения (91,12-13) стремятся к бесконечности. При этом, однако, эти формулы перестают быть применимыми, так как их вывод предполагает малость по сравнению с

Формулы (91,12-13) не относятся к главной волне (в волноводе с многосвязным сечением), в которой равны нулю все величины . В этом случае можно выразить все компоненты поля через скалярный потенциал . Учитывая взаимную перпендикулярность и равенство по величине полей Н и в главной волне, получим для ее коэффициента поглощения следующее выражение:

(91,15)

Распространение главной волны вдоль волновода может быть сравнительно просто рассмотрено и в тех случаях, когда ее коэффициент поглощения не мал (так что формула (91,15) неприменима), если при этом длина волны велика по сравнению с поперечными размерами волновода.

Как было указано выше, поперечное электрическое поле в главной волне (в каждый момент времени) соответствует электростатическому полю в конденсаторе, образованном стенками волновода, заряженными равными и противоположными зарядами. Обозначим эти заряды, отнесенные к единице длины волновода, посредством Они связаны с токами текущими по стенкам волновода, уравнением непрерывности

или, для монохроматического поля,

Пусть, далее, С — емкость единицы длины волновода. «Разность потенциалов» между его стенками дифференцируя ее по z, мы получим э.д. с., поддерживающую протекание тока по стенкам (напомним, что при наличии поглощения поле не является чисто поперечным). Приравняв его ( - импеданс единицы длины волновода), получим

или

Подставив сюда (где R и L — сопротивление и самоиндукция единицы длины волновода), мы можем перейти от монохроматических компонент тока обратно к произвольной функции времени. Предполагая также емкость С постоянной вдоль длины волновода, получим так называемое телеграфное уравнение.

В отсутствие поглощения (R = 0) это уравнение, как и должно быть, сводится к волновому уравнению со скоростью распространения волн, равной Равенство следует из математической эквивалентности задач об определении и L при заданной форме контуров. Электрическое и магнитное поля между поверхностями идеальных проводников перпендикулярны по направлению и равны по величине (см. (91,11)), причем значение последней на самих поверхностях определяет в первом случае плотность зарядов, а во втором случае плотность токов. Поэтому совпадают и коэффициенты пропорциональности (1/С и L) между энергией поля и квадратами соответственно заряда или тока.