§ 88. Распространение волн в неоднородной среде

Рассмотрим распространение электромагнитных волн в электрически неоднородной (но изотропной) среде. В уравнениях Максвелла

(полагаем везде ) есть функция координат точки. Подставив Н из первого уравнения во второе, получим для Е уравнение

Исключение же Е дает для Н уравнение

Эти уравнения существенно упрощаются в одномерном случае, когда меняется лишь в одном направлении в пространстве. Выберем это направление в качестве оси z и рассмотрим волну, направление распространения которой лежит в плоскости . В такой волне все величины не зависят вовсе от координаты у, а ввиду однородности пространства вдоль оси можно рассматривать зависимость от даваемую множителем с постоянным . При поле зависит только от , т. е. речь идет о нормальном прохождении волны через слой вещества с

Если же , то говорят о наклонном прохождении волны.

При этом надо различать (при ) два независимых случая поляризации. В одном из них вектор Е перпендикулярен к плоскости распространения волны (т. е. направлен вдоль оси у), а магнитное поле Н соответственно лежит в этой плоскости. Уравнение (88,1) принимает вид

В другом случае вдоль оси у направлено поле Н, а Е лежит в плоскости распространения. В этом случае удобнее исходить из уравнения (88,2), которое дает

Будем условно называть эти два типа волн соответственно Е - и Н-волнами.

Уравнения могут быть решены в общем виде в важном случае, когда условия распространения близки к условиям геометрической оптики; функцию предполагаем ниже вещественной!). В уравнении (88,3) величина где

играет роль длины волны в направлении оси z. Приближению геометрической оптики соответствует неравенство

а два независимых решения уравнения (88,3) имеют вид

Условие (88,5) заведомо нарушается вблизи точки отражения (если таковая имеется), в которой Пусть это есть точка причем при при На достаточно больших расстояниях по обе стороны от точки решение! уравнения (88,3) имеет вид (88,6), но для того чтобы установить соответствие между коэффициентами в этом решении в областях надо исследовать точное решение уравнения (88,3) вблизи .

В окрестности этой точки функцию можно разложить по степеням и представить в виде Решение уравнения

конечное при всех , есть

где

— функция Эйри (множитель в Е везде опускаем). Асимптотический же вид решения уравнения (88,3) при больших есть

с тем же коэффициентом А, что и в (88,7). Первое из этих выражений представляет собой стоячую волну, получающуюся в результате наложения падающей (в положительном направлении оси ) волны и волны, отраженной от плоскости Амплитуды этих волн одинаковы (и равны ), т. е. коэффициент отражения равен единице. В область проникает лишь экспоненциально затухающее поле.

При приближении к точке отражения амплитуда волны возрастает, как это видно уже из наличия в знаменателе в (88,8). Для определения величины поля в непосредственной близости этой точки надо, одна ко, воспользоваться выражением (88,7). Эта функция монотонно убывает в глубь области и имеет осциллирующий характер в области причем величина максимумов постепенно убывает. Первый, наибольший из максимумов достигается при и равен

До сих пор мы писали решения для -волн. Легко видеть, что в приближении геометрической оптики вполне аналогичные формулы могут быть написаны и для Н-волн.

Если сделать в уравнении (88,4) подстановку , то производные от войдут умноженными только на и (но не на ); пренебрегая затем членами, содержащими эти производные (малыми в силу условия (88,5)), получим для функции уравнение

совпадающее с уравнением (88,3). Поэтому все формулы для Я отличаются от формул (88,6-8) лишь множителем

Своеобразное отличие в поведении обоих типов волн возникает при отражении наклонно падающей волны от слоя вещества, в котором проходит через нуль. Отражение происходит при этом от плоскости, на которой т. е. «не доходя» до точки -волна проникает за эту плоскость лишь в виде экспоненциально затухающего поля. При отражении же Н-волны на общем фоне такого затухающего поля возникает вблизи точки резкое усиление поля (К. Forster-ling, 1949). Рассмотрим это явление.

Пусть в точке Вблизи этой точки пишем

и уравнение (88,4) принимает вид

Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, одно из решений этого уравнения (назовем его ) не имеет особенности при , а его разложение при малых z начинается с

Второе независимое решение обладает логарифмической особенностью и его разложение имеет вид

(параметр а появляется лишь в более высоких членах разложения). Для определения поля вблизи точки нет необходимости анализировать вопрос о выборе линейной комбинации из , удовлетворяющей условиям на бесконечности.

Достаточно заметить, что она стремится при к постоянной (обозначим ее ) и имеет логарифмическую особенность:

наряду с постоянной здесь выписан также главный член с особенностью. Электрическое поле определяется по полю уравнениями Максвелла

Вспомнив, что зависимость Н от дается множителем находим главные члены в

(88,11)

Они обращаются при в бесконечность.

В действительности, разумеется, благодаря непременному наличию в среде хотя бы малого поглощения поле достигает лишь относительно (по сравнению с окружающим слабым фоном) больших, но конечных значений. Интересно, однако, что уже сколь угодно малая мнимая часть в приводит к конечной диссипации энергии. Положим . Тогда аналитическое продолжение логарифма в (88,11) с правой полуоси z на левую должно производиться в комплексной плоскости 2 снизу, и при будет

Средний (по времени) поток энергии вдоль оси ,

(см. (59,9а)), равен нулю при а при появление в вещественной части приводит к отличному от нуля потоку энергии по направлению к плоскости где эта энергия диссипируется:

(88,12)

(В. Б. Гильденбург, 1963).

Задача

По границе раздела между двумя средами соответственно с положительной и отрицательной диэлектрическими проницаемостями может распространяться поверхностная Н-волна, затухающая в глубь обеих сред. Определить связь между ее частотой и волновым вектором.

Решение. Выберем границу раздела в качестве плоскости ху, причем волна распространяется вдоль оси а поле Н параллельно оси у. Пусть полупространство заполнено средой с положительной , а полупространство -средой с отрицательной проницаемостью. Ищем поле в затухающей при волне в виде

причем вещественны. Граничное условие непрерывности уже удовлетворено, а условие непрерывности дает

или Это равенство может быть выполнено лишь при условии

(и подразумевающемся При этом связь между дается уравнением

Распространение же поверхностных -волн, как легко убедиться, вообще невозможно.