§ 8. Диэлектрический эллипсоид

Поляризация диэлектрического эллипсоида, помещенного во внешнее однородное электрическое поле, обладает некоторыми своеобразными особенностями, придающими этому примеру особый интерес.

Рассмотрим предварительно простой частный случай — диэлектрический шар во внешнем поле Обозначим его диэлектрическую проницаемость посредством а диэлектрическую проницаемость внешней среды, в которую он погружен, — посредством Выберем начало сферической системы координат в центре шара (полярный угол отсчитывается от направления ) и будем искать потенциал поля вне шара в виде

первый член есть потенциал приложенного внешнего поля, а второй член, обращающийся на бесконечности в нуль, дает искомое изменение потенциала, вызываемое шаром решение задачи 1 § 3). Потенциал же поля внутри шара ищем в виде

это есть единственная функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, остающаяся конечной в центре шара и зависящая только от постоянного вектора - единственного параметра, входящего в данную задачу.

Постоянные А и В определяются граничными условиями на поверхности шара. Но уже сразу отметим, что поле внутри шара оказывается однородным, отличающимся от приложенного поля лишь своей абсолютной величиной.

Граничное условие непрерывности потенциала дает

(R - радиус шара), а условие непрерывности нормальной составляющей индукции —

Исключая из этих двух равенств А, получим

или, подставив

Анлогичным способом решается задача о диэлектрическом бесконечном цилиндре во внешнем поле, перпендикулярном к его оси (ср. задачу 2 § 3). Поле внутри цилиндра, как и внутри шара в предыдущем примере, оказывается однородным. Оно удовлетворяет соотношению

или

Соотношения (8,1) и (8,3), в которые диэлектрическая проницаемость шара или цилиндра не входит в явном виде, особенно важны потому, что их справедливость не связана с линейной зависимостью между Е и D внутри тела; они имеют место при любом виде этой зависимости (в том числе для анизотропных тел). Такой же характер имеют аналогичные соотношения:

для цилиндра в продольном поле, и

для плоскопараллельной пластинки в перпендикулярном к ней поле; эти равенства очевидны из граничных условий.

Свойство создавать внутри себя однородное поле (будучи помещенным во внешнее однородное поле) присуще, оказывается, вообще всякому эллипсоиду с произвольным соотношением полуосей а, b, с. Задача о поляризации диэлектрического эллипсоида решается с помощью эллипсоидальных координат, подобно тому, как была решена в § 4 аналогичная задача для проводящего эллипсоида.

Потенциал поля вне эллипсоида ищем снова в виде (4,22) с функцией из (4,23). В потенциал же поля внутри эллипсоида функция такого вида войти не может, так как она не удовлетворяет условию конечности поля во всем объеме внутри эллипсоида.

Действительно, рассмотрим поверхность представляющую собой часть плоскости ху, ограниченную эллипсом с полуосями лежащим внутри объема эллипсоида. При интеграл (4,23) ведет себя как . Напряженность поля, т. е. градиент потенциала, будет вести себя, следовательно, как и обращается в бесконечность при Таким образом, для поля внутри эллипсоида пригодно лишь решение , т. е. -надо искать в виде

Мы видим, что потенциал отличается от потенциала однородного поля только постоянным множителем. Другими словами, поле внутри эллипсоида будет однородным.

Мы не станем выписывать здесь формулы для поля вне эллипсоида. Однородное же поле внутри эллипсоида можно найти без фактического выписывания граничных условий, воспользовавшись вместо этого некоторыми уже известными нам результатами.

Предположим сначала, что эллипсоид находится в пустоте Тогда между векторами (которые все имеют одинаковое направление — вдоль оси ) должна существовать линейная связь вида

где коэффициенты а, b зависят не от диэлектрической проницаемости эллипсоида, а только от его формы. Наличие такой связи следует из вида граничных условий, в чем мы уже убедились выше на примерах шара и цилиндра.

Для определения а и b замечаем, что в тривиальном частном случае было бы просто отсюда Другой уже известный нам частный случай — проводящий эллипсоид. В проводнике , а индукция не имеет непосредственного физического смысла, но может рассматриваться как формальная величина, связанная с полным дипольным моментом эллипсоида соотношением

Согласно (4,26) при этом будет

т. е. коэффициент , а потому .

Таким образом, мы приходим к соотношению

или

Величину называют деполяризующим полем.

Такие же соотношения (с коэффициентами ), справедливы для поля вдоль осей у и z. Как и частные формулы (8,1), (8,3), они справедливы при любом виде зависимости между Е и D внутри эллипсоида.

Для напряженности поля внутри эллипсоида получим из (8,7), положив

а полный дипольный момент эллипсоида

Если поле имеет составляющие по всем трем осям, то поле внутри эллипсоида по-прежнему будет однородным, но, вообще говоря, не параллельным Не предрешая выбор системы координат, можно написать в общем случае соотношение (8,7) в виде

Переход к случаю диэлектрической проницаемости среды, отличной от 1, совершается просто путем замены на При этом формула (8,7) принимает вид

Эта формула может быть применена, в частности, к полю внутри эллипсоидального отверстия в неограниченной диэлектрической среде: для этого надо положить