§ 4. Проводящий эллипсоид

Задача об определении поля заряженного проводящего эллипсоида и задача об эллипсоиде во внешнем однородном поле решаются с помощью так называемых эллипсоидальных координат.

Связь эллипсоидальных координат с декартовыми дается уравнением

Это уравнение, кубическое относительно и, имеет три различных вещественных корня , лежащих в следующих интервалах:

Эти три корня и являются эллипсоидальными координатами точки . Их геометрический смысл явствует из того, что поверхности постоянных значений представляют собой соответственно эллипсоиды, однополостные гиперболоиды и двухполостные гиперболоиды, причем все они софокусны с эллипсоидом

Через каждую точку пространства проходит по одной поверхности этих трех семейств, причем эти поверхности взаимно ортогональны.

Формулы преобразования от эллипсоидальных координат к декартовым получаются путем совместного решения трех уравнений типа (4,1) и имеют вид

Элемент длины в эллипсоидальных координатах имеет вид

где введено обозначение

Соответственно, уравнение Лапласа в этих координатах есть

Если две из полуосей а, b, с становятся равными, то эллипсоидальная система координат вырождается. Пусть

Тогда кубическое уравнение (4,1) вырождается в квадратное:

с двумя корнями, пробегающими значения в интервалах

Координатные поверхности постоянных превращаются соответственно в софокусные сплюснутые эллипсоиды вращения и однополостные гиперболоиды вращения (рис. 8).

Рис. 8.

В качестве третьей координаты можно ввести полярный угол в плоскости . Что же касается эллипсоидальной координаты t, то при она вырождается в постоянную — Ее связь с углом заключена в законе, по которому стремится когда b стремится к а:

в чем легко убедиться из (4,4) или непосредственно из уравнения (4,1).

Связь координат с координатами дается согласно (4,4) равенствами

Координаты называют сплюснутыми сфероидальными координатами.

Аналогичным образом, при эллипсоидальные координаты вырождаются в так называемые вытянутые сфероидальные координаты. Две координаты задаются корнями уравнения

причем Поверхности постоянных представляют собой вытянутые эллипсоиды и двухполостные гиперболоиды вращения (рис. 9). Координата же вырождается при в постоянную по закону

где — полярный угол в плоскости yz.

Рис. 9.

Связь координат , с координатами х, дается формулами

В сплюснутой сфероидальной системе фокусы координатных поверхностей (эллипсоидов и гиперболоидов) лежат на окружности радиуса в плоскости (на рис. 8 есть диаметр этой окружности). Проведем плоскость, проходящую через некоторую точку Р и ось z. Она пересечет фокальную окружность двух точках; пусть и - расстояния от этих точек до точки Р. Если — координаты точки Р, то

Сфероидальные координаты выражаются через последующим формулам:

В вытянутой же сфероидальной системе фокусами являются две точки на оси х (точки А, А' на рис. 9). Если — расстояния от этих фокусов до точки Р, то

а сфероидальные координаты выражаются через по тем же формулам (4,13) (с заменой ) на .

Вернемся к задаче о поле заряженного эллипсоида, поверхность которого задана уравнением (4,3). В эллипсоидальных координатах это — координатная поверхность Поэтому ясно, что если искать потенциал поля в виде функции только от , то автоматически будут эквипотенциальными все эллипсоидальные поверхности , в том числе поверхность проводника. Уравнение Лапласа (4,6) сводится тогда к уравнению

откуда

Верхний предел интегрирования выбран таким образом, чтобы обеспечить исчезновение поля на бесконечности. Постоянную А проще всего определить из условия, что на больших расстояниях поле должно стремиться к кулоновскому: где — полный заряд проводника. Стремлению соответствует при этом как это следует из уравнения (4,1) с . С другой стороны, для больших имеем Отсюда заключаем, что , так что окончательно получим

Стоящий здесь интеграл — эллиптический первого рода. Поверхности проводника соответствует значение поэтому для емкости эллипсоида имеем

Распределение плотности заряда по поверхности эллипсоида определяется нормальной производной потенциала

С помощью уравнений (4,4) легко убедиться в том, что при

Поэтому

Для двухосного эллипсоида интегралы (4,14) и (4,15) выражаются через элементарные функции. Для вытянутого эллипсоида потенциал поля дается формулой

а его емкость

Для сплюснутого же эллипсоида имеем

(4,19)

В частности, для круглого диска

Перейдем к задаче о незаряженном проводящем эллипсоиде, находящемся во внешнем однородном электрическом поле Без ограничения общности достаточно рассмотреть внешнее поле направленное вдоль одной из осей эллипсоида. В противном случае можно разложить на три составляющие вдоль осей эллипсоида и искать результирующее поле как суперпозицию полей, получающихся от каждой из этих составляющих в отдельности.

Потенциал однородного поля направленного вдоль оси (ось а эллипсоида), в эллипсоидальных координатах имеет вид

Представим потенциал поля вне эллипсоида в виде где определяет искомое искажение внешнего поля эллипсоидом, и будем искать в виде

В функции зависящие от множители совпадают с таковыми в такой вид функции позволит удовлетворить граничному условию при и произвольных (на поверхности эллипсоида).

Подставив (4,22) в уравнение Лапласа (4,6), получим для уравнение

Одно из решений этого уравнения есть , а другое имеет вид

Верхний предел интегрирования выбран так, чтобы на бесконечности потенциал стремился к нулю. Стоящий здесь интеграл — эллиптический второго рода.

На поверхности эллипсоида должно быть . Чтобы это условие могло выполняться при и произвольных , надо положить Выбирая соответствующим образом коэффициент А в (так, чтобы было ), получим окончательно следующее выражение для потенциала поля вокруг эллипсоида:

(4,24)

Найдем вид потенциала на больших расстояниях от эллипсоида. Большим соответствуют большие значения координаты , причем , как это следует непосредственно из уравнения (4,1). Поэтому

и для потенциала получаем

где - объем эллипсоида, а величина и аналогичные фигурирующие ниже величины определяются формулами

Выражение для как и должно быть, имеет вид потенциала поля электрического диполя:

причем дипольный момент эллипсоида

Аналогичными выражениями определяются дипольные моменты при поле , направленном вдоль оси у или z.

Положительные постоянные зависят только от формы эллипсоида, но не от его объема; они называются коэффициентами деполяризации. Если не предрешать выбор осей координат вдоль осей эллипсоида, то формулу (4,26) надо писать в тензорном виде:

Величины являются главными значениями симметричного тензора второго ранга . Сравнение с определением (2,13) показывает, что есть тензор поляризуемости проводящего эллипсоида.

В общем случае произвольных значений а, b, с из определений следует прежде всего, что

Далее, сложив интегралы и введя в качестве переменной интегрирования , найдем

откуда

Сумма трех коэффициентов деполяризации равна единице (в тензорном виде это значит, что . Поскольку, с другой стороны, эти коэффициенты положительны, каждый из них не может превышать единицы.

Для шара из соображений симметрии ясно, что

Для цилиндра (с осью вдоль оси ) имеем

Предельному же случаю (плоская пластинка) отвечают очевидные значения

Эллиптические интегралы (4,25) выражаются через элементарные функции для всех эллипсоидов вращения. Для вытянутого эллипсоида вращения с эксцентриситетом имеем

Если эллипсоид близок к шару , то приближенно

Для сплюснутого же эллипсоида ):

(4,34)

где