Задачи

1. Определить магнитный момент проводящего шара (с равномерна вращающегося в однородном постоянном магнитном поле; определить действующий на шар момент сил.

Решение. Пусть в неподвижной системе координат (с осью вдоль вектора угловой скорости ) внешнее поле имеет составляющие . В системе координат , вращающейся вместе с шаром, составляющие поля:

или, в комплексном виде,

Таким образом, вдоль осей действует переменное поле с частотой и индуцируемый им магнитный момент

где - комплексная магнитная поляризуемость шара, определенная в задаче 1 § 59. Вдоль же оси магнитное поле постоянно и потому не создает (при ) магнитного момента. Составляющие магнитного момента относительно неподвижной системы координат:

Таким образом, в этой задаче а и определяют составляющие магнитного момента шара соответственно в плоскости векторов и перпендикулярно к ней.

Действующий на шар момент сил Его составляющие относительно неподвижных осей:

Использованное здесь сведение задачи о вращающемся в поле шаре к задаче о неподвижном шаре в переменном поле вполне естественно в свете замечания, сделанного в конце решения задачи 1 § 59. Обратим внимание на интересный аспект этой аналогии: при увеличении частоты переменного магнитного поля оно «выталкивается» из шара — в пределе все силовые линии «обтекают» шар, не проникая внутрь его; таким же образом из быстро вращающегося шара выталкивается магнитное поле, перпендикулярное к оси вращения.

2. Определить электродвижущую силу униполярной индукции, возникающую между полюсом и экватором (см. рис. 39) однородно намагниченного шара, равномерно вращающегося вокруг оси, совпадающей с направлением намагничения.

Решение. При вращении шара вокруг направления его намагничения создаваемое им поле постоянно; учитывая также, что внутри шара нет токов, найдем из (63,6), что . Поэтому интеграл от по замкнутому контуру ОАСВО (рис. 39) обращается в нуль и, следовательно, интегрирование по пути АСВ в формуле (63,9) можно заменить интегрированием по пути АОВ, проходящему внутри шара. Интеграл вдоль отрезка АО оси вращения обращается в нуль ввиду совпадения направлений , а интегрирование вдоль радиуса ОВ дает (с учетом совпадения направлений В и внутри шара):

(а — радиус шара, — магнитная индукция в нем). В однородно намагниченном шаре (в отсутствие приложенного внешнего поля) связь индукции с намагничением определяется уравнениями откуда Вводя полный магнитный момент шара получим окончательно

3. Определить полный заряд, протекающий по линейному замкнутому контуру при изменении (по любой причине) магнитного потока через него от одного постоянного значения (Ф до другого ).

Решение. Искомый полный заряд есть интеграл где возникающий в контуре индукционный ток. С математической точки зрения этот интеграл представляет собой компоненту Фурье функции с частотой Поэтому он связан с такой же компонентой электродвижущей силы соотношением

(см. (61,3)). Подставив — сопротивление контура для постоянного тока) и получим