Задача

В заданный момент времени в некоторой области пространства имеется электромагнитное возмущение. Не поддерживаемое внешними источниками, оно будет затухать со временем. Найти условия, определяющие декремент этого затухания.

Решение. Разложим начальное возмущение в интеграл Фурье по координатам и рассмотрим какую-либо компоненту с волновым вектором к (вещественный вектор!). Ее дальнейшая зависимость от времени дается (при достаточно большом t) множителем с комплексной частотой которую надо определить; декремент затухания есть .

Из уравнений

имеем, исключив H,

Выберем направление k в качестве оси х. Для продольной части возмущения имеем отсюда а потому и

С другой стороны, связь между дается интегральным оператором

Поскольку в данном случае при (чем выражается отсутствие источников поля при то

Отсюда видно, что при больших t зависимость от времени определяется в основном временной зависимостью функции

Для монохроматического поля имеем из (3):

и, обратно,

Для оценки этого интеграла при больших значениях t смещаем путь интегрирования в нижнюю полуплоскость где подынтегральное выражение быстро убывает. При этом надо обходить все особые точки функции (со), т. е. нули функции и ее точки ветвления. В результате интеграл будет в основном пропооционален где ближайшая к вещественной оси из указанных особых точек. Этим и решается поставленный вопрос для продольной части возмущения.

Для поперечных компонент имеем из (1)

Аналогичное исследование приводит к заключению, что искомая частота является в данном случае ближайшим к вещественной оси нулем или точкой ветвления функции