§ 126. Диффузное тепловое рассеяние рентгеновых лучей

В двух предыдущих параграфах мы понимали под электронную плотность в кристалле, усредненную по времени. Тем самым из нее выпадали вызываемые различными причинами колебания плотности, а с ними и соответствующая (некогерентная) часть рассеяния рентгеновых лучей. Одним из источников некогерентного рассеяния являются тепловые флуктуации плотности. Это рассеяние диффузно распределено по всем направлениям, но его характерной особенностью является сравнительно большая интенсивность вблизи направлений, соответствующих резким линиям структурного рассеяния, рассмотренного в предыдущих параграфах. Мы рассмотрим теперь именно эти максимумы теплового рассеяния (W. Н. Zachariasen, 1940).

Тепловые колебания кристаллической решетки будем представлять разложенными на отдельные звуковые волны. Как будет видно из дальнейшего, в создании интересующих нас максимумов теплового рассеяния участвуют волны с большими (по сравнению с постоянной решетки) длинами.

Вызываемое такой волной изменение электронной плотности можно рассматривать в каждой точке пространства как результат простого сдвига решетки на величину, равную местному значению вектора смещения и в волне. Таким образом, изменение плотности (не усредненной по времени!) при прохождении заданной звуковой волны можно выразить через среднюю плотность посредством

Рассматривая диффузное рассеяние вблизи определенной линии, надо заменить на с заданным b, так что

(126,1)

Рассеяние на флуктуациях плотности, разумеется, некогерентно рассеянием на средней плотности и потому не интерферирует ним. Поэтому сечение диффузного рассеяния можно найти по формуле (124,10), подставив в нее вместо и произведя затем татистическое усреднение по флуктуациям:

(126,2)

где введено обозначение . Интенсивность рассеяния велика в тех направлениях, для которых вектор К мал

Интеграл выделяет из пространственную компоненту Фурье с волновым вектором К; поэтому мы можем понимать под и просто вектор смещения в звуковой волне с этим волновым вектором. Неравенство означает, следовательно, что длина рассеивающей звуковой волны велика по сравнению с размерами элементарной ячейки кристалла.

Таким образом, пишем

(126,3)

Так что

сечение

(126,4)

Усреднение произведений компонент производится аналогично тому, как это было сделано в § 123 для звуковой волны изотропном теле. Упругая энергия единицы объема деформированного кристалла дается выражением

где — тензор деформации, а - тензор модулей упругости (см. VII § 10).

Поэтому средняя упругая энергия всего кристалла равна

Подставим сюда

Члены с множителями при усреднении обращаются в нуль. Учитывая также свойства симметрии тензора (симметрия по индексам и по перестановке пары с парой ), получим

где введено обозначение

(126,5)

Согласно общей теории термодинамических флуктуаций, можно теперь сразу написать для искомых средних значений

(126,6)

( - тензор, обратный тензору ), а для сечения рассеяния окончательно имеем:

(126,7)

Таким образом, интенсивность диффузного рассеяния, как и следовало ожидать, пропорциональна объему кристалла. Характерной особенностью этого рассеяния является распределение его интенсивности по площади пятна. Отвлекаясь от множителя практически постоянного для заданного пятна, мы видим, что распределение интенсивности определяется выражением Последнее представляет собой произведение на довольно сложную функцию направления вектора К относительно кристаллографических осей. При рассеянии вблизи главного максимума интенсивность диффузного рассеяния тоже максимальна в точке (само выражение (126,7), обращающееся при в бесконечность, разумеется, становится при этом неприменимым).

Если же условие не выполняется, то равенство К = 0 невозможно и максимум интенсивности диффузного рассеяния расположен при некотором отличном от нуля К, вообще говоря, не совпадающем с положением максимума структурного рассеяния. В обоих случаях диффузное рассеяние создает , интенсивность которого спадает в основном как , т. е. значительно медленнее, чем интенсивность в более резкой линии структурного рассеяния, которую он окружает.