§ 94. Дифракция на клине

Обычная приближенная теория дифракции (см. II §§ 59—61) основана на предположении о малости отклонений от геометрической оптики. Тем самым предполагается, во-первых, что все размеры велики по сравнению с длиной волны; это относится как к размерам тел (экранов) или отверстий в них, так и к расстояниям от тел до точек испускания и наблюдения света. Во-вторых, рассматриваются лишь малые углы дифракции, т. е. распределение света по направлениям, близким к направлению границы геометрической тени. В этих условиях конкретные оптические свойства вещества тел вообще несущественны; существен лишь самый факт непрозрачности экранов.

Если же указанные условия не выполнены, то решение задачи дифракции требует точного решения волнового уравнения с учетом соответствующих граничных условий на поверхности тел, зависящих от их конкретных свойств. Нахождение таких решений представляет исключительные математические трудности и произведено лишь для сравнительно небольшого числа задач. При этом обычно делается определенное упрощающее предположение о свойствах тела, на котором происходит дифракция: оно предполагается идеально проводящим (и тем самым, с оптической точки зрения, идеально отражающим).

Отметим в этой связи следующее обстоятельство. Могло бы показаться естественным решать задачу дифракции, предполагая поверхность тела «черной», т. е. полностью поглощающей падающий на нее свет. В действительности, однако, в постановке точной задачи дифракции такое предположение о свойствах тела было бы внутренне противоречивым. Дело в том, что если само вещество тела является сильно поглощающим, то коэффициент отражения от его поверхности не мал, а, напротив, близок к единице (см. § 87). Поэтому осуществление близкого к нулю коэффициента отражения требует слабо поглощающего вещества, но зато достаточно большой (по сравнению с длиной волны) толщины тела. В точной же теории дифракции неизбежно играют существенную роль участки поверхности тела вблизи (на расстояниях порядка длины волны) его края; но толщина тела вблизи его края во всяком случае мала, так что предположение о его «черноте» здесь заведомо не будет справедливым.

Существенный теоретический интерес представляет точное решение задачи о дифракции света от края идеально проводящего клина, ограниченного двумя пересекающимися полуплоскостями (A. Sommerfeld, 1894). Полное изложение этой сложной математической теории, требующей применения особых математических приемов, выходит за рамки настоящей книги. Мы изложим здесь для справочных целей лишь окончательные результаты.

Выберем край клина за ось z цилиндрической системы координат . Передней поверхности клина (ОА на рис. 48) соответствует , а задней (ОВ) , где — угол раствора клина; области вне клина соответствуют углы Пусть плоская монохроматическая волна с равной единице амплитудой падает в плоскости на переднюю поверхность клина под углом к ней (ввиду симметрии клина достаточно рассматривать значения ).

Будем различать два независимых случая поляризации падающей (а с нею и дифрагированной) волны: когда краю клина (оси ) параллелен вектор Е или вектор Н. Буквой и обозначается в этих случаях соответственно или

Электромагнитное поле во всем пространстве дается тогда формулой (временной множитель везде опускаем)

где верхний и нижний знаки отвечают соответственно поляризациям с Е и Н вдоль оси , а функция определяется комплексным интегралом

. Путь интегрирования в плоскости состоит из двух петель, изображенных на рис. 49.

Рис. 48.

Рис. 49.

Концы этих петель уходят на бесконечность в тех частях плоскости (заштрихованных на рис. 49), в которых и потому множитель стремится к нулю на бесконечности. Подынтегральное выражение в (94,2) имеет полюсы, лежащие на вещественной оси в точках где - целые числа. Вместо пути С можно производить интегрирование по пути (рис. 49), добавив к интегралу вычеты подынтегрального выражения в полюсах, расположенных на отрезке если таковые имеются. Представим v в виде

где — интеграл (94,2), взятый по пути D, а — вклад, происходящий от вычетов в указанных полюсах. От каждого полюса возникает в член, равный

изображающий собой либо падающую волну, либо одну из волн, отраженных от поверхности клина по законам геометрической оптики.

Функция же описывает собственно дифракционное искажение волн. Наибольший интерес представляет поле на больших (по сравнению с длиной волны) расстояниях от края клина. При справедлива асимптотическая формула

если только угол удовлетворяет условию

Зависимость функции а с нею и поля

от дается множителем , т. е. это поле имеет характер цилиндрической волны, как бы излучаемой краем клина.

В написанном виде формулы (94,1-5) справедливы при любых значениях углов и Более подробное обсуждение этих формул мы для определенности произведем при таком соотношении между углами у и которое приводит, сточки зрения геометрической оптики, к возникновению двух границ: границы полной тени (область III на рис. 48) и границы «тени» волны, отраженной от поверхности ОА. На рис. если же , то граница лежит справа от направления падающей волны. При область полной тени вообще отсутствует, а отражение (одно- или даже многократное) происходит от обеих сторон клина.

В областях I, II, III функция

имеет следующий вид:

Эти выражения, не обращающиеся в нуль при , описывают не искаженные дифракцией падающую (в области II) или совокупность падающей и отраженной (в области I) волн.

Дифракционное же искажение поля дается формулой (94,4), но условие (94,5) нарушается при значениях слишком близких к (когда разность перестает быть малой по сравнению с ).

Значения соответствуют геометрическим границам тени; при это есть граница полной тени, а при граница тени отраженной волны. В непосредственной близости этих значений надо применять другое асимптотическое выражение, справедливость которого требует лишь соблюдения неравенства . Это условие вместе с условием как раз обеспечивает применимость обычной приближенной теории дифракции Френеля. В соответствии с этим, вблизи границы полной тени получается следующее асимптотическое выражение:

Аналогично вблизи границы тени отраженной волны

В этом приближении дифракционная картина не зависит от направления поляризации волны и от угла раствора клина.

Области применимости формул (94,4) и (94,7-8) частично перекрываются. Так, вблизи границы полной тени совместная область применимости дается неравенствами

и в ней

(c из (94,6)). Из (94,7) это выражение получается с помощью известных асимптотических формул для интеграла Френеля при больших :