ГЛАВА I. ЭЛЕКТРОСТАТИКА ПРОВОДНИКОВ

§ 1. Электростатическое поле проводников

Предмет макроскопической электродинамики составляет изучение электромагнитных полей в пространстве, заполненном ветё-ством. Как и всякая макроскопическая теория, электродинамика оперирует физическими величинами, усредненными по «физически бесконечно малым» элементам объема, не интересуясь микроскопическими колебаниями этих величин, связанными с молекулярным строением вещества. Так, вместо истинного «микроскопического» значения напряженности электрического поля мы будем рассматривать ее усредненное значение, обозначив его как

Основные уравнения электродинамики сплошных сред получаются посредством усреднения уравнений электромагнитного поля в пустоте. Такой переход от микро- к макроскопическим уравнениям был впервые произведен Лоренцем (Н. A. Lorentz, 1902).

Вид уравнений макроскопической электродинамики и смысл входящих в них величин существенно зависят от физической природы материальной среды, а также от характера изменения поля со временем. Поэтому представляется рациональным производить вывод и исследование этих уравнений для каждой категории физических объектов в отдельности.

Как известно, в отношении электрических свойств трля делятся на две категории — проводники и диэлектрики, поичем первые отличаются от вторых тем, что всякое электрическое поле вызывает в них движение зарядов - электрический ток.

Мы начнем с изучения постоянных электрических полей, создаваемых заряженными проводниками (электростатика проводников). Из основного свойства проводников, прежде всего, следует, что в электростатическом случае напряженность электрического поля внутри них должна быть равной нулю. Действительно, отличная от нуля напряженность Е привела бы к возникновению тока; между тем распространение тока в проводнике связано с диссипацией энергии и потому не может само по себе (без внешних источников энергии) поддерживаться в стационарном состоянии.

Отсюда в свою очередь следует, что все заряды в проводнике должны быть распределены по его поверхности: наличие зарядов в объеме проводника непременно привело бы к возникновению электрического поля в нем; распределение же зарядов по поверхности может быть осуществлено таким образом, чтобы создаваемые ими внутри проводника поля взаимно компенсировались.

Тем самым задача электростатики проводников сводится к определению электрического поля в пустоте, вне проводников, и к определению распределения зарядов по поверхности проводников.

В точках, не слишком близких к поверхности тела, среднее поле Е в пустоте фактически совпадает с истинным полем е. Эти две величины отличаются друг от друга лишь в непосредственной близости к телу, где еще сказывается влияние нерегулярных молекулярных полей. Последнее обстоятельство, однако, не отражается на виде усредненпых уравнений поля. Точные микроскопические уравнения Максвелла в пустоте гласят:

( - микроскопическая напряженность магнитного поля). Поскольку среднее магнитное поле предполагается отсутствующим, то и производная обращается в результате усреднения в нуль, и мы находим, что постоянное электрическое поле в пустоте удовлетворяет обычным уравнениям

т. е. является потенциальным полем с потенциалом связанным с напряженностью соотношением

и удовлетворяющим уравнению Лапласа

Граничные условия для поля Е на поверхности проводника следуют из самого уравнения rotE = 0, справедливого (как и исходное уравнение (1,3)) и вне, и внутри тела. Выберем ось z по направлению нормали к поверхности проводника в некоторой его точке. Компонента поля в непосредственной близости к поверхности тела достигает очень больших значений (ввиду наличия здесь конечной разности потенциалов на очень малых расстояниях).

Это большое поле является свойством самой поверхности и зависит от ее физических свойств, но не имеет отношения к рассматриваемой нами электростатической задаче, так как быстро спадает уже на расстояниях, сравнимых с атомными. Существенно, однако, что если поверхность однородна, производные вдоль поверхности остаются конечными, несмотря на обращение самого в бесконечность, Поэтому из

следует, что конечно. Это значит, что непрерывно на поверхности (так как скачок Е означал бы обращение производной в бесконечность). То же самое относится и к а поскольку внутри проводника вообще то мы приходим к выводу, что касательные компоненты внешнего поля на его поверхности должны обращаться в нуль:

Таким образом, электростатическое поле должно быть нормальным к поверхности проводника в каждой ее точке. Поскольку , то это значит, что потенциал поля должен быть постоянным вдоль всей поверхности каждого данного проводника. Другими словами, поверхность однородного проводника представляет собой эквипотенциальную поверхность электростатического поля.

Нормальная же к поверхности компонента поля весьма просто связана с плотностью распределенного по поверхности заряда. Эта связь получается из общего электродинамического уравнения которое после усреднения принимает вид

где — средняя плотность заряда. В интегральном виде это. уравнение означает, как известно, что поток электрического поля через замкнутую поверхность равен полному заряду, находящемуся в ограниченном этой поверхностью объеме (умноженному на ). Применив эту теорему к элементу объема, заключенному между двумя бесконечно близкими единичными площадками, примыкающими с обеих сторон к поверхности проводника, и учитывая, что на внутренней площадке найдем, что , где — поверхностная плотность заряда, т. е. заряд на единице площади поверхности проводника. Таким образом, распределение зарядов по поверхности проводника дается формулой

(производная от потенциала берется в направлении внешней нормали к поверхности).

Полный заряд проводника

где интеграл берется по всей его поверхности.

Распределение потенциала во всяком электростатическом поле обладает следующим замечательным свойством: функция может достигать максимального или минимального значения лишь на границах области поля. Эту теорему можно сформулировать и как утверждение о невозможности устойчивого равновесия внесенного в поле пробного заряда , так как нет такой точки, в которой бы его потенциальная энергия имела минимум.

Доказательство теоремы весьма просто. Допустим, например, что в некоторой точке А (не находящейся на границе поля) потенциал имеет максимум. Тогда можно окружить точку А такой малой замкнутой поверхностью, на которой везде производная по нормали Следовательно, и интеграл по этой поверхности Но в силу уравнения Лапласа

в противоречии с предположением.