ГЛАВА VII. КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

§ 58. Уравнения квазистационарного поля

До сих пор мы рассматривали постоянные электрические и магнитные поля, а уравнение Максвелла

применялось (в § 31) лишь со вспомогательной целью при выводе выражения для энергии магнитного поля.

Характер переменных электромагнитных полей в материальных средах существенно зависит от рода этих сред и от порядка величины частоты поля. В этом параграфе мы рассмотрим явления, происходящие в массивных проводниках, помещенных во внешнее переменное магнитное поле. Мы будем предполагать при этом, что скорость изменения поля не слишком велика, будучи ограничена рядом условий, сформулированных ниже. Электромагнитные поля и токи, удовлетворяющие этим условиям, называют квазистационарными.

Прежде всего, будем считать, что длина волны , соответствующая (в пустоте или диэлектрической среде, окружающей проводник) частоте поля со, велика по сравнению с размерами тела l:

Тогда распределение магнитного поля вне проводника в каждый момент времени можно описывать уравнениями статического поля

пренебрегая всеми эффектами, связанными с конечностью скорости распространения электромагнитных возмущений. Разумеется, такое пренебрежение возможно лишь на не слишком больших малых по сравнению с ) расстояниях от тела (что во всяком случае достаточно для целей определения поля внутри него).

Полная же система уравнений поля внутри проводника складывается из уравнения (58,1) и уравнений

(в электрически анизотропном не кубическом кристалле надо писать ).

Второе из этих уравнений было выведено, строго говоря, для постоянных токов и магнитных полей. Поэтому необходимо указать критерий, позволяющий с достаточной точностью использовать это уравнение для переменных полей. В уравнении (58,4) существенно, что связь тока с напряженностью электрического поля дается соотношением с постоянным значением а, относящимся к стационарному случаю. Это имеет место, если период изменения поля велик по сравнению с временами, характерными для микроскопического механизма проводимости. Другими словами, частота поля должна быть мала по сравнению с обратным временем свободного пробега электронов в проводнике. Для типичных металлов (при комнатной температуре) предельные допускаемые этим условием частоты лежат в инфракрасной области спектра.

Кроме того, однако, есть и другое условие, ограничивающее в данном случае применимость уравнений. Уравнение (58,4) подразумевает, что связь между током и полем является локальной, т. е. что плотность тока в некоторой точке проводника определяется значением поля только в этой точке. Это, в свою очередь, предполагает малость длин свободного пробега электронов по сравнению с расстояниями, на которых заметно меняется поле. К этому условию мы еще вернемся в § 59.

В уравнениях (58,1) и (58,4) Е есть напряженность индукционного электрического поля, возникающего благодаря переменности магнитного поля. По известному Н поле Е определяется непосредственно уравнением (58,4). Уравнение же для Н получается путем исключения Е из (58,1) и (58,4):

В однородной среде с постоянными проводимостью о и магнитной проницаемостью множитель можно вынести из-под знака , а согласно (58,3) имеем . Поэтому , и мы получаем уравнение

Вместе с уравнением оно составляет полную систему, достаточную для определения магнитного поля. Отметим, что уравнение (58,6) имеет вид уравнения теплопроводности, причем роль «коэффициента температуропроводности» играет .

Граничные условия для магнитного поля на поверхности проводника очевидны из вида самих уравнений и по-прежнему гласят:

Выражение в правой части уравнения (58,4) не влияет на второе из этих условий в силу своей ограниченности. При можно написать просто

В силу уравнения (58,4) имеем граничное условие к последнему уравнению: на поверхности проводника. В электрически изотропном проводнике отсюда следует (в силу ), что на границе и где индекс отличает поле внутри проводника (в общем же случае анизотропного проводника нормальная компонента поля в нем на границе, вообще говоря, отлична от нуля).

Граничное условие (58,8) недостаточно для полной формулировки задачи, если проводник представляет собой составное тело, состоящее из участков с различными проводимостями. На границах раздела этих участков наряду с непрерывностью Н необходимо учесть также и условие непрерывности ; для магнитного поля это условие означает, что

Предположим, что проводник помещен в магнитное поле, источники которого в некоторый момент времени выключаются. Поле в проводнике (и вокруг него) не исчезнет при этом мгновенно, а ход его затухания со временем определяется уравнением (58,6). Для решения такого рода задач надо, следуя общим методам математической физики, поступить следующим образом. Ищем решения уравнения (58,6), имеющие вид

с постоянными . Для функций , получим уравнения

(58,10)

При заданной форме проводника эти уравнения имеют отличные от нуля решения (удовлетворяющие необходимым граничным условиям) лишь при определенных составляющих набор его собственных значений. Все эти значения вещественны и положительны, а соответствующие им функции составляют полную систему взаимно ортогональных векторных функций. Пусть распределение поля в начальный момент времени дается функцией . Разлагая ее по системе функций

мы получим решение поставленной задачи о затухании поля в виде . (58,11)

Скорость затухания поля определяется в основном тем членом этой суммы, который соответствует наименьшему из пусть это будет Время затухания поля можно определить как Порядок величины этого времени очевиден из самого уравнения (58,10). Поскольку размеры проводника), то

(58,12)