§ 15. Электрические силы в жидком диэлектрике

Вопрос о вычислении сил (их называют пондеромоторными), действующих на диэлектрик в произвольном неоднородном электрическом поле, довольно сложен и требует раздельного рассмотрения для жидких (или газообразных) и твердых тел. Мы начнем с более простого случая жидких диэлектриков.

Будем обозначать посредством силу, действующую на элемент объема среды вектор f можно назвать объемной плотностью сил.

Как известно, силы, действующие на какой-либо конечный объем тела, могут быть сведены к силам, приложенным к поверхности этого объема (см. VII § 2). Это обстоятельство является следствием закона сохранения импульса. Сила, действующая на вещество в объеме представляет собой изменение его импульса в единицу времени. Это изменение должно быть равно количеству импульса, втекающего в течение того же времени в этот объем через его поверхность. Если обозначить тензор потока импульса через то

где интегрирование в правой части равенства производится по поверхности объема V. Тензор называют тензором напряжений. Очевидно, что

есть i-я компонента силы, действующей на элемент поверхности ( — единичный вектор нормали к поверхности, внешней по отношению к данному объему).

Аналогичным образом сводится к интегралу по поверхности также и полный момент сил, действующих на данный объем, чем обеспечивается выполнение закона сохранения момента импульса. Как известно, возможность этого сведения связана с симметричностью тензора напряжений последняя является, таким образом, выражением закона сохранения момента импульса.

Преобразуя интеграл по поверхности в (15,1) в интеграл по объему, получим

и отсюда, ввиду произвольности объема интегрирований,

Это известная формула, выражающая объемные силы через тензор напряжений.

Приступим теперь К вычислению тензора напряжений. Каждый малый участок поверхности можно рассматривать как плоский; а тело и электрическое поле вблизи него как однородные. Поэтому для упрющенйя вывода мы можем всякого ограничения общности, раесмотрёть однородный (по составу, плотности и температуре) плоскопараллельный слой вещества (толщины h), находящийся в однородном электрическом поле. Это поле можно представлять себе как создаваемое приложенными к поверхности слоя проводящими плоскостями (обкладками конденсатора).

Следуя общему методу определения сил, подвергнем одну из обкладок («верхнюю») параллельному виртуальному смещению на бесконечно малую величину направление произвольно и не обязательно Совпадает с направлением нормали . Будем считать, что пётенцйал проводника (в каждой его точке) остается при смёщенйй неизменным, а вызываемая этим смещением однородная деформация слоя диэлектрика — изотермична.

На единицу площади поверхности действует со стороны самого тела (слоя) сила — . При вйртуальном смещений эта сила производит работу — . С другой стороны, работа, производимая при изотермической деформации и постоянных потенциалах проводников, равна убыли величины или (на единицу площади поверхности слоя) величины . Таким образом,

(15,3)

Термодинамические величины жидкости зависят (при данных температуре и напряженности поля) только от ее плотности; деформации, не меняющие плотности (деформации сдвига), не отражаются на термодинамическом состоянии. Поэтому для изотермической вариации в жидкости пишем

Изменение плотности слоя вещества связано с изменением его толщины соотношением . Вариация же поля вычисляется следующим образом.

В данную точку пространства (с радиус-вектором ) попадает при смещении вещество из точки , где — вектор смещения частиц в объеме слоя. Поскольку в рассматриваемых условиях (однородная деформация и постоянство потенциала на обкладках) каждая частица вещества перемещается вместе со своим значением потенциала, то изменение последнего в данной точке пространства есть

где Е — однородное поле внутри недеформйрованного слоя. Но ввиду однородности деформации имеем

где z — расстояние от нижней поверхности. Поэтому вариация напряженности поля

Подставляя все полученные выражения в (15,4) и учитывая также, что получим

Отсюда окончательно находим следующее выражение для тензора напряжений:

В изотропных средах, которые здесь и рассматриваются, направления Е и D совпадают. Поэтому и тензор (15,7), как и должно быть, симметричен.

При линейной связи имеем

(см. (10,17)); есть свободная энергия единицы объема вещества в отсутствие поля. Согласно известному термодинамическому соотношению, производная от свободной энергии 1 г вещества по удельному объему есть давление:

есть то давление, которое имелось бы в среде в отсутствие поля при данных значениях и Т.

Поэтому при подстановке (15,8) в (15,7) получим

В пустоте это выражение переходит в известный максвелловский тензор напряжений электрического поля.

Силы, с которыми действуют на поверхность раздела две соприкасающиеся различные среды, должны быть равны и противоположны: , где величины со штрихом и без него относятся к двум средам. Векторы нормали имеют взаимно противоположные направления, так что можно написать

(15,10)

На границе двух изотропных сред равенство тангенциальных составляющих сил соблюдается тождественно. Действительно, подставив (15.7) в (15.10) и взяв тангенциальную компоненту, получим

Но это равенство удовлетворяется уже в силу граничных условий непрерывности . Условие же равенства нормальных составляющих сил дает нетривиальное условие, налагаемое на разность давлений в обеих средах.

Рассмотрим, например, границу между жидкостью и атмосферой (для последней можно положить ). Отмечая штрихом величины, относящиеся к атмосфере, и пользуясь для формулой (15,9), получим

Учитывая граничные условия , перепишем это равенство в виде

(15.11)

Это соотношение надо понимать как уравнение, определяющее плотность жидкости вблизи ее поверхности по напряженности электрического поля в ней.

Определим теперь действующие в диэлектрической среде объемные силы. Дифференцируя согласно (15,2) выражение (15,9), получим

При учете уравнения выражение в скобках в последнем члене сводится к сумме

обращающейся в нуль ввиду того, что . Таким образом, получаем

(15,12)

Если в диэлектрике имеются сторонние заряды с объемной плотностью то к силе f добавится еще член ; поскольку , то этот член равен

(15,13)

не следует, однако, думать, что этот результат самоочевиден (ср. задачу 3 § 16).

В газе, как уже было указано в § 7, можно считать разность пропорциональной его плотности. Тогда и формула (15,12) принимает более простой вид:

(15,14)

Формула (15,12) справедлива для сред как однородных, так и неоднородных по своему составу. В неоднородной среде является функцией не только , но и меняющейся вдоль среды концентрации смеси. В однородной же по составу среде есть функция только можно раскрыть как

Тогда (15,12) приобретает вид:

Если и температура постоянна вдоль тела, то третий член обращается в нуль, а в первом можно заменить на (согласно известному термодинамическому соотношению для химического потенциала в отсутствие поля: ) и

где — химический потенциал вещества в электрическом поле (см. (10,19)).

В частности, условие механического равновесия при постоянной температуре гласит:

в согласии с общим термодинамическим условием равновесия. Обычно это условие может быть написано в еще более лростом виде. Изменение плотности среды влиянием поля само пропорционально Поэтому, если в отсутствие поля среда однородна по своей плотности, то и при наличии поля в последних двух членах в (15,15) следует полагать ; учет изменения в формулах, предполагающих линейную связь был бы превышением их точности. Тогда, приравнивая нулю f из (15,15), получим при постоянной температуре условие равновесия в виде

отличающемся от (15,17) тем, что вместо в нем стоит .

В заключение этого параграфа покажем, каким образом можно вывести непосредственно выражение для силы (15,12) из формулы (14,1), - если не ставить себе целью вычисление тензора напряжений.

Рассмотрим неограниченную неоднородную диэлектрическую среду, подвергаемую изотермической малой деформации, обращающейся в нуль на бесконечности. Вариация складывается из двух частей: 1) из изменения

связанного с тем, что в результате деформации в заданную точку приходит частица вещества из точки , и 2) из изменения

связанного с изменением плотности вещества в точке : как известно (см. VII § 1), и есть относительное изменение элемента объема и потому изменение плотности есть . Таким образом, вариация свободной энергии:

(первый член — вариация свободной энергии в отсутствие поля). Проинтегрировав в (15,19) члены с и по частям и сравнив результат с выражением вариации свободной энергии через работу сил f, получим (15,12).