Главная > Теоретическая физика. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 15. Электрические силы в жидком диэлектрике

Вопрос о вычислении сил (их называют пондеромоторными), действующих на диэлектрик в произвольном неоднородном электрическом поле, довольно сложен и требует раздельного рассмотрения для жидких (или газообразных) и твердых тел. Мы начнем с более простого случая жидких диэлектриков.

Будем обозначать посредством силу, действующую на элемент объема среды вектор f можно назвать объемной плотностью сил.

Как известно, силы, действующие на какой-либо конечный объем тела, могут быть сведены к силам, приложенным к поверхности этого объема (см. VII § 2). Это обстоятельство является следствием закона сохранения импульса. Сила, действующая на вещество в объеме представляет собой изменение его импульса в единицу времени. Это изменение должно быть равно количеству импульса, втекающего в течение того же времени в этот объем через его поверхность. Если обозначить тензор потока импульса через то

где интегрирование в правой части равенства производится по поверхности объема V. Тензор называют тензором напряжений. Очевидно, что

есть i-я компонента силы, действующей на элемент поверхности ( — единичный вектор нормали к поверхности, внешней по отношению к данному объему).

Аналогичным образом сводится к интегралу по поверхности также и полный момент сил, действующих на данный объем, чем обеспечивается выполнение закона сохранения момента импульса. Как известно, возможность этого сведения связана с симметричностью тензора напряжений последняя является, таким образом, выражением закона сохранения момента импульса.

Преобразуя интеграл по поверхности в (15,1) в интеграл по объему, получим

и отсюда, ввиду произвольности объема интегрирований,

Это известная формула, выражающая объемные силы через тензор напряжений.

Приступим теперь К вычислению тензора напряжений. Каждый малый участок поверхности можно рассматривать как плоский; а тело и электрическое поле вблизи него как однородные. Поэтому для упрющенйя вывода мы можем всякого ограничения общности, раесмотрёть однородный (по составу, плотности и температуре) плоскопараллельный слой вещества (толщины h), находящийся в однородном электрическом поле. Это поле можно представлять себе как создаваемое приложенными к поверхности слоя проводящими плоскостями (обкладками конденсатора).

Следуя общему методу определения сил, подвергнем одну из обкладок («верхнюю») параллельному виртуальному смещению на бесконечно малую величину направление произвольно и не обязательно Совпадает с направлением нормали . Будем считать, что пётенцйал проводника (в каждой его точке) остается при смёщенйй неизменным, а вызываемая этим смещением однородная деформация слоя диэлектрика — изотермична.

На единицу площади поверхности действует со стороны самого тела (слоя) сила — . При вйртуальном смещений эта сила производит работу — . С другой стороны, работа, производимая при изотермической деформации и постоянных потенциалах проводников, равна убыли величины или (на единицу площади поверхности слоя) величины . Таким образом,

(15,3)

Термодинамические величины жидкости зависят (при данных температуре и напряженности поля) только от ее плотности; деформации, не меняющие плотности (деформации сдвига), не отражаются на термодинамическом состоянии. Поэтому для изотермической вариации в жидкости пишем

Изменение плотности слоя вещества связано с изменением его толщины соотношением . Вариация же поля вычисляется следующим образом.

В данную точку пространства (с радиус-вектором ) попадает при смещении вещество из точки , где вектор смещения частиц в объеме слоя. Поскольку в рассматриваемых условиях (однородная деформация и постоянство потенциала на обкладках) каждая частица вещества перемещается вместе со своим значением потенциала, то изменение последнего в данной точке пространства есть

где Е — однородное поле внутри недеформйрованного слоя. Но ввиду однородности деформации имеем

где z — расстояние от нижней поверхности. Поэтому вариация напряженности поля

Подставляя все полученные выражения в (15,4) и учитывая также, что получим

Отсюда окончательно находим следующее выражение для тензора напряжений:

В изотропных средах, которые здесь и рассматриваются, направления Е и D совпадают. Поэтому и тензор (15,7), как и должно быть, симметричен.

При линейной связи имеем

(см. (10,17)); есть свободная энергия единицы объема вещества в отсутствие поля. Согласно известному термодинамическому соотношению, производная от свободной энергии 1 г вещества по удельному объему есть давление:

есть то давление, которое имелось бы в среде в отсутствие поля при данных значениях и Т.

Поэтому при подстановке (15,8) в (15,7) получим

В пустоте это выражение переходит в известный максвелловский тензор напряжений электрического поля.

Силы, с которыми действуют на поверхность раздела две соприкасающиеся различные среды, должны быть равны и противоположны: , где величины со штрихом и без него относятся к двум средам. Векторы нормали имеют взаимно противоположные направления, так что можно написать

(15,10)

На границе двух изотропных сред равенство тангенциальных составляющих сил соблюдается тождественно. Действительно, подставив (15.7) в (15.10) и взяв тангенциальную компоненту, получим

Но это равенство удовлетворяется уже в силу граничных условий непрерывности . Условие же равенства нормальных составляющих сил дает нетривиальное условие, налагаемое на разность давлений в обеих средах.

Рассмотрим, например, границу между жидкостью и атмосферой (для последней можно положить ). Отмечая штрихом величины, относящиеся к атмосфере, и пользуясь для формулой (15,9), получим

Учитывая граничные условия , перепишем это равенство в виде

(15.11)

Это соотношение надо понимать как уравнение, определяющее плотность жидкости вблизи ее поверхности по напряженности электрического поля в ней.

Определим теперь действующие в диэлектрической среде объемные силы. Дифференцируя согласно (15,2) выражение (15,9), получим

При учете уравнения выражение в скобках в последнем члене сводится к сумме

обращающейся в нуль ввиду того, что . Таким образом, получаем

(15,12)

Если в диэлектрике имеются сторонние заряды с объемной плотностью то к силе f добавится еще член ; поскольку , то этот член равен

(15,13)

не следует, однако, думать, что этот результат самоочевиден (ср. задачу 3 § 16).

В газе, как уже было указано в § 7, можно считать разность пропорциональной его плотности. Тогда и формула (15,12) принимает более простой вид:

(15,14)

Формула (15,12) справедлива для сред как однородных, так и неоднородных по своему составу. В неоднородной среде является функцией не только , но и меняющейся вдоль среды концентрации смеси. В однородной же по составу среде есть функция только можно раскрыть как

Тогда (15,12) приобретает вид:

Если и температура постоянна вдоль тела, то третий член обращается в нуль, а в первом можно заменить на (согласно известному термодинамическому соотношению для химического потенциала в отсутствие поля: ) и

где — химический потенциал вещества в электрическом поле (см. (10,19)).

В частности, условие механического равновесия при постоянной температуре гласит:

в согласии с общим термодинамическим условием равновесия. Обычно это условие может быть написано в еще более лростом виде. Изменение плотности среды влиянием поля само пропорционально Поэтому, если в отсутствие поля среда однородна по своей плотности, то и при наличии поля в последних двух членах в (15,15) следует полагать ; учет изменения в формулах, предполагающих линейную связь был бы превышением их точности. Тогда, приравнивая нулю f из (15,15), получим при постоянной температуре условие равновесия в виде

отличающемся от (15,17) тем, что вместо в нем стоит .

В заключение этого параграфа покажем, каким образом можно вывести непосредственно выражение для силы (15,12) из формулы (14,1), - если не ставить себе целью вычисление тензора напряжений.

Рассмотрим неограниченную неоднородную диэлектрическую среду, подвергаемую изотермической малой деформации, обращающейся в нуль на бесконечности. Вариация складывается из двух частей: 1) из изменения

связанного с тем, что в результате деформации в заданную точку приходит частица вещества из точки , и 2) из изменения

связанного с изменением плотности вещества в точке : как известно (см. VII § 1), и есть относительное изменение элемента объема и потому изменение плотности есть . Таким образом, вариация свободной энергии:

(первый член — вариация свободной энергии в отсутствие поля). Проинтегрировав в (15,19) члены с и по частям и сравнив результат с выражением вариации свободной энергии через работу сил f, получим (15,12).

1
Оглавление
email@scask.ru