Задачи

1. В рамках макроскопического уравнения движения магнитного момента (уравнение Ландау — Лифшица, см. IX (69,9)), в отсутствие диссипации, найти тензор магнитной проницаемости для однородно намагниченного одноосного ферромагнетика типа легкая ось (Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, 1935).

Решение. Уравнение движения намагниченности в ферромагнетике:

где ( - гиромагнитное отношение), — коэффициент анизотропии, v — орт оси легкого намагничения (ось ). Представим поле Н в виде , где Н — малое переменное произвольно направленное поле, а постоянное поле, которое будем считать направленным вдоль оси . Вместе с полем Н мала также и создаваемая им поперечная намагниченность . Пренебрегая малыми величинами второго порядка, находим уравнения

Определив отсюда найдем восприимчивость (как коэффициенты в соотношениях а по ней — проницаемость:

где Обратим внимание на гиротропию ферромагнитной среды (определение этого понятия см. в § 101).

2. Найти частоты однородного ферромагнитного резонанса эллипсоида, одна из главных осей которого совпадает с осью легкого намагничения. В этом же направлении приложено внешнее поле (Ch. Kittel, 1947).

Решение. Внутри эллипсоида вдоль оси (ось легкого намагничения) имеется поле

( — коэффициенты размагничивания вдоль главных осей эллипсоида). Простое вычисление определителя (79,8) приводит к уравнению

где

Отсюда для частоты однородного резонанса:

Так, для шара имеем и резонансная частота

Для плоскопараллельной пластинки, поверхность которой перпендикулярна к оси легкого намагничения, имеем и резонансная частота

(пластинка намагничена, если ).

3. Найти закон дисперсии магнитостатических колебаний в неограниченной среде.

Решение. С тензором из (1) уравнение (79,6) принимает вид

Положив найдем

где — угол между к и осью легкого намагничения (осью ). С из получим частоту колебаний

Она зависит только от направления, но не от величины волнового вектора. Этот результат совпадает, как и должно быть, с предельным (при ) законом дисперсии спиновых волн в ферромагнетике {см. IX § 70).

4. Найти частоты неоднородного резонанса в неограниченной плоскопараллельной пластинке, поверхность которой перпендикулярна к оси легкого намагничения; вдоль этой же оси направлено внешнее поле

Решение. Надо найти решение уравнения (2) для потенциала внутри пластинки и уравнения для потенциала вне пластинки с граничными условиями

(ось перпендикулярна к поверхности пластинки, плоскость проходит через ее середину, - толщина пластинки). Такое решение может быть четным или нечетным по . В первом случае

причем (волновой вектор лежит в плоскости граничные условия приводят к соотношению

(3)

Во втором случае

и из граничных условий получаем

Размагничивающий коэффициент пластинки , так что размагничивающее поле: . С выражением из (1) находим частоту колебаний:

где — угол между k и осью .

При каждом произвольном значении имеется бесконечное множество дискретных значений определяемых условиями (3) и (4). Соответствующие частоты даются выражением (5) и зависят только от отношения Все возможные значения частоты лежат в интервале

При возможны только симметричные колебания и из (3) видно, что т. е. является малой величиной второго порядка. Положив соответственно этому в найдем частоту, совпадающую, как и должно быть, с частотой однородного резонанса.