§ 116. Переходное излучение

Излучение Черенкова характерно тем, что оно имеет место при равномерном движении заряженной частицы (между тем как заряд, равномерно движущийся в пустоте, не излучает). Другую категорию аналогичных в этом смысле явлений представляет переходное излучение — излучение при равномерном движении заряженной частицы в пространственно неоднородной среде, в том числе при переходе из одной среды в другую (В. Л. Гинзбург, И. М. Франк, 1945).

Оно принципиально отличается от излучения Черенкова в том отношении, что оно имеет место при любых скоростях частицы, а не только при скоростях, превышающих фазовую скорость света в среде. Как и излучение Черенкова, оно не имеет ничего общего с тормозным излучением (которое тоже возникает при падении заряженных частиц на поверхность раздела двух сред). Как и для излучения Черенкова, разница особенно наглядна при переходе к пределу сколь угодно большой массы частиц тормозное излучение при этом исчезает, а переходное остается.

Рассмотрим переходное излучение при прохождении заряженной частицы (с постоянной скоростью v) через границу между вакуумом и диэлектрической (немагнитной) средой с комплексной проницаемостью е. Движение происходит вдоль оси х, перпендикулярной к плоскости раздела (плоскость х = 0, рис. 63).

Электромагнитное поле определяется уравнениями (114,1-3) или эквивалентными им (114,6). Все величины в уравнениях разлагаем в интегралы Фурье по времени и по координатам , по которым среда однородна:

(116,1)

и т. д., где q — волновой вектор в плоскости yz. В каждом из двух полупространств ищем поле в виде суммы частного решения неоднородных уравнений (114,6) (поле заряда, индекс ) и общего решения однородных уравнений — уравнений (114,6) без правых частей (поле свободного излучения, индекс ). Первое дается формулами, аналогичными (114,7):

Отсюда напряженность электрического поля

(116,3)

(выражение для Н, нам не понадобится и мы его не выписываем).

Вторую часть решения, отвечающую полю свободного излучения, пишем сразу в виде напряженности. Продольную компоненту напряженности Е записываем как

с неизвестным пока коэффициентом а; для имеем теперь

Рис. 63.

(116,4)

Поперечная компонента (о которой заранее ясно, что она направлена вдоль q — единственного выделенного в этой плоскости направления) определяется затем уравнением ( — орт оси ):

Знаки + и — в показателях относятся соответственно к полупространствам х > 0 и х < 0: волны распространяются в направлениях от границы раздела.

Постоянные в обоих полупространствах определяются из условий непрерывности на границе раздела нормальных компонент индукции, и тангенциальных компонент напряженности электрического поля, (условие же непрерывности напряженности магнитного поля не дает, разумеется, ничего нового). Выпишем результат для коэффициента в области (вакуум):

где

Вычислим теперь полную энергию излучаемую частицей в вакуум, т. е. назад по направлению движения электрона. Простой способ сделать это состоит в том, чтобы рассматривать излученный волновой при больших временах t, когда он уже ушел далеко налево; поле излучения и собственное поле заряда оказываются при этом уже разделенными. Энергия получается интегрированием плотности энергии поля излучения по всему пространству. Если перенести начало координат вдоль оси в область волнового цуга, то ввиду затухания его поля в обе стороны по интегрирование по этой координате можно распространить от до .

В волновой зоне плотности электрической и магнитной энергии одинаковы. Поэтому

Подставив сюда в виде разложения (116,1), пишем квадрат интеграла в виде двойного интеграла:

Интегрирование этого выражения по дает -функцию , которая затем устраняется интегрированием Таким образом,

Подставив сюда для выражение (116,5) (с ) и произведя интегрирование по х, получим

здесь уже учтено, что ввиду наличия -функции будет по этой же причине в произведении исчезают фазовые множители, возникающие в при смещении начала координат в (116,5). Интегрирования по производятся от — до устранив -функцию интегрированием по , получим

(116,8)

ввиду четности подынтегрального выражения по интеграл по представлен как удвоенный интеграл от 0 до

Интегрирование по должно производиться по области в которой вещественно, так что поле (116,5) действительно описывает распространяющуюся волну J). Введем угол между волновым вектором излучения и направлением вектора (так что отвечает излучению строго назад по отношению к направлению движения частицы). Тогда перейдя от интегрирования по к интегрированию по имеем

Функция дает спектральное и угловое распределение излучения. Взяв из (116,6), получим окончательно:

(В. Л. Гинзбург, И. М. Франк, 1945).

Переходное излучение линейно поляризовано, причем электрический вектор лежит (как это видно из (116,5)) в плоскости, проходящей через k и v. Для нерелятивистских скоростей интенсивность излучения пропорциональна т. е. энергии частицы.

На границе с идеальным проводником формула (116,9) сводится к

В ультрарелятивистском случае излучение имеет максимум в области малых углов, Действительно, формула (116,9) принимает здесь вид

С логарифмической точностью имеем отсюда для полной спектральной плотности излучения

(116,10)

Если воспользоваться, при достаточно больших частотах, предельным выражением диэлектрической проницаемости (78,1),

(116,11)

то мы найдем, что при спектральное распределение излучения убывает как Это значит, что в действительности основной вклад в переходное излучение (в направлении назад) дают частоты .

Наконец, остановимся на переходном излучении при прохождении частицы из среды в вакуум. Эта задача отличается от предыдущей лишь изменением знака скорости v. Поэтому дифференциальная интенсивность излучения в вакуум при выходе заряженной частицы из среды дается формулой, получающейся из (116,9) заменой причем будет теперь углом между направлением k и v (так что отвечает излучению строго вперед по движению частицы):

(116,12)

В ультрарелятивистском случае излучение имеет максимум интенсивности в области малых углов, . Формула (116,12) принимает здесь вид

(116,13)

Если не слишком близко к единице, последний множитель в знаменателе заменяется на и для спектрального распределения получается, с логарифмической точностью,

Для больших частот снова используем выражение (116,11) и заменяем в (116,13)

Интегрирование по углам дает

Из этих формул видно, что основной вклад в излучение вперед дают высокие частоты, (Г. м. Гарибян, 1959). Интегральная по частотам энергия излучения оказывается при этом пропорциональной энергии частицы:

(116,14)