Задачи

1. Маленький проводник с емкостью с (порядка величины его размеров) находится на расстоянии от центра сферического проводника большого радиуса а Расстояние — а от проводника с до поверхности шара предполагается большим лишь по сравнению с с, но не по сравнению с а. Оба проводника соединены друг с другом тонким проводом, так что находятся при одинаковом потенциале . Определить силу взаимного отталкивания проводников.

Решение. Ввиду малости проводника с можно считать, что его потенциал складывается из потенциала , который создается на расстоянии большой сферой, и собственного потенциала создаваемого зарядом , находящимся на самом проводнике. Отсюда имеем или . Искомая сила взаимодействия F определяется как кулоновская сила отталкивания между зарядом проводника с и зарядом сферы:

(это выражение справедливо с точностью до членов более высокого порядка по с). Эта сила максимальна при (где она равна ) и убывает в обе стороны от этой точки.

2. Заряженный проводящий шар разрезан пополам. Определить силу, с которой оба полушария отталкиваются друг от друга

Решение. Представляем себе полушария разделенными бесконечно узкой щелью и определяем действующую на каждое из них силу F путем интегрирования по их поверхности силы (проекция силы (5,1) на направление, перпендикулярное к плоскости раздела полушарий). В щели а на наружной поверхности где а — радиус шара, а — полный заряд на нем. В результате получим

3. То же для незаряженного шара, находящегося во внешнем однородном поле 6, перпендикулярном к плоскости разреза.

Решение аналогично предыдущей задаче, с той разницей, что на поверхности шара (согласно задаче 1 § 3). Искомая сила

4. Определить изменение объема и изменение формы проводящего шара во внешнем однородном электрическом поле.

Решение. Изменение объема , где К — модуль всестороннего растяжения вещества, а определяется формулой (5,13). Для шара (а из задачи 1 § 3), так что

В результате деформации шар превращается в вытянутый эллипсоид. Для определения эксцентриситета этого эллипсоида можно рассматривать деформацию как однородную вдоль объема тела деформацию сдвига, аналогично тому, как для изменения общего объема мы рассматривали однородную деформацию всестороннего растяжения.

Условие равновесия деформированного тела можно сформулировать как условие минимальности суммы электростатической и упругой энергии. Первая из них согласно формулам (2,12), (4,26) равна

где R — первоначальный радиус шара, а и b — полуоси эллипсоида, а

— коэффициент деполяризации (см. (4,33)).

В силу аксиальной симметрии деформации (вокруг направления поля — оси х) отличны от нуля лишь компоненты тензора деформации. Поскольку мы рассматриваем равновесие по отношению к изменению формы, можно считать при этом объем неизменным, т. е. Поэтому упругую энергию можно написать в виде

где — тензор упругих напряжений (см. VII § 4). Имеем

где — модуль сдвига вещества, а . Поэтому

Минимизируя сумму по , получим

5. Найти связь между частотой и длиной волны, распространяющейся по заряженной плоской поверхности жидкого проводника (в поле тяжести). Получить условие устойчивости этой поверхности (Я. И. Френкель, 1935).

Решение. Пусть волна распространяется вдоль оси ось направлена вертикально вверх. Вертикальное смещение точек поверхности жидкости При неподвижной поверхности напряженность поля над ней а его потенциал где — поверхностная плотность зарядов. Потенциал поля над колеблющейся поверхностью пишем в виде

где — малая поправка, удовлетворяющая уравнению и обращающаяся в нуль при . Вдоль самой поверхности проводника потенциал должен иметь постоянное значение, которое принимаем за нуль; отсюда

Согласно (5,1) на заряженную поверхность жидкости действует дополнительное отрицательное давление, равное, с точностью до членов первого порядка по

Постоянный член несуществен (его можно включить в постоянное внешнее давление).

Рассмотрение гидродинамического движения в волне вполне аналогично теории капиллярных волн (см. VI § 61), отличаясь лишь наличием указанного выше дополнительного давления. На поверхности жидкости получаем граничное условие

где а — коэффициент поверхностного натяжения, — плотность жидкости, а Ф — потенциал ее скорости; связаны друг с другом еще и соотношением

Подставив в эти два соотношения

(Ф удовлетворяет уравнению и исключив а и А, получим искомую связь между :

Для того чтобы поверхность жидкости была устойчивой, частота со должна бытп вещественной при всех значениях k (в противном случае будут существовать комплексные со с положительной мнимой частью и множитель будет неограниченно возрастать). Условие положительности правой стороны (1) гласит: откуда

Это и есть условие устойчивости.

6. Найти условие устойчивости заряженной сферической капли (Rayleigh, 1882).

Решение. Сумма электростатической и поверхностной энергии капли

где - коэффициент поверхностного натяжения жидкости, С — емкость капли, S — площадь ее поверхности. Неустойчивость возникает (при увеличении ) по отношению к вытягиванию шара в эллипсоид и определяется моментом, когда становится убывающей функцией эксцентриситета (при заданном объеме капли). Шарообоазния форма всегда соответствует экстремуму 41; поэтому условие устойчивости гласит:

где а, b — полуоси эллипсоида, а дифференцирование производится при . Воспользовавшись известной формулой для поверхности эллипсоида и формулой (4,18) для его емкости, получим после довольно длинного вычисления

Это условие обеспечивает устойчивость капли относительно малых дефор маций. Оно оказывается более слабым, чем условие устойчивости относительно большой деформации — деления на две одинаковые части (капли с зарядами и радиусами ):