§ 30. Магнитное поле постоянных токов

Если в проводнике течет отличный от нуля полный ток, то средняя плотность тока в нем может быть представлена в виде суммы

Первый член, связанный с намагниченностью среды, не дает вклада в полный ток, так что полный перенос заряда через поперечное сечение тела определяется интегралом только от второго члена. Величину j называют плотностью тока проводимости. Именно к ней относится все сказанное в § 21, в частности, энергия, диссипируемая в единицу времени в единице объема, равна

Распределение тока j по объему проводника определяется указанными в § 21 уравнениями, в которые не входит создаваемое этими же токами магнитное поле (при условии пренебрежения влиянием поля на свойства проводимости самого металла). Поэтому задача об определении магнитного поля токов должна решаться по заданному распределению последних. Уравнения этого поля отличаются от полученных в § 29 уравнений наличием члена вместо нуля в правой части (29,7):

Плотность тока проводимости j, пропорциональная напряженности электрического поля, является величиной ограниченной, не обращающейся в бесконечность, в частности и на границе раздела двух сред. Поэтому наличие правой части в уравнении (30,2) не отражается на граничном условии непрерывности тангенциальных компонент Н.

Для решения уравнений (30,1-2) удобно ввести векторный потенциал А, положив

в результате чего уравнение (30,1) удовлетворяется тождественно.

Равенством (30,3) векторный потенциал еще К нему можно прибавить, не нарушая (30,3), любой вектор вида . Ввиду этой неоднозначности можно наложить на А одно дополнительное условие, в качестве которого выберем

Уравнение для А получается подстановкой (30,3) в (30,2). При линейной связи имеем

В таком виде это уравнение справедливо для любой неоднородной среды.

В однородной среде и поскольку , то уравнение (30,5) приводится к виду

Если же мы имеем дело с совокупностью двух или более различных соприкасающихся сред, каждая из которых обладает своей магнитной проницаемостью то общее уравнение (30,5) сводится к уравнению вида (30,6) внутри каждого из однородных тел, а на их границах должно выполняться условие непрерывности тангенциальных компонент вектора . Кроме того, должны быть непрерывными касательные компоненты самого вектора А, так как их скачок означал бы наличие на границе бесконечной индукции В.

Уравнения поля упрощаются для плоской задачи определения магнитного поля в среде, не ограниченной и однородной в одном направлении (которое мы примем в качестве направления оси z), причем создающие поле токи тоже направлены везде вдоль оси z, а их плотность есть функция только от х, у. Сделаем естественное (подтверждающееся результатом) предположение, что векторный потенциал такого поля тоже направлен вдоль оси (условие (30,4) удовлетворяется при этом автоматически), а магнитное поле соответственно везде параллельно плоскости ху. Обозначив посредством к единичный вектор вдоль оси z, имеем

Поэтому уравнение (30,5) приводится к виду

т. е. мы действительно получаем одно уравнение для одной скалярной величины .

Для кусочно-однородной среды (30,7) сводится к уравнению

с граничным условием непрерывности Ли — на поверхности раздела.

Магнитное поле определяется совсем элементарно, если распределение токов симметрично относительно оси ( — расстояние до оси ). Очевидно, что в этом случае магнитные силовые линии являются окружностями Абсолютная же величина поля непосредственно определяется из формулы

являющейся интегральной формулой уравнения (30,2). Именно,

(30,10)

где - полный ток, протекающий внутри окружности .

Сведение векторного уравнения (30,5) к одному скалярному уравнению возможно также и при аксиально-симметричном распределении круговых токов, т. е. при распределении, которое в цилиндрических координатах , имеет вид

Векторный потенциал ищем в виде ). При этом компоненты магнитной индукции

и - компонента уравнения (30,2) дает

Уравнения магнитного поля токов могут быть решены в общем виде в важном случае, когда магнитными свойствами среды можно пренебречь, т. е. можно положить везде Для векторного потенциала тогда во всем пространстве имеет место уравнение

без каких бы то ни было условий на границах раздела различных сред (в том числе на границе проводника, по которому течет ток). Решение этого уравнения, обращающееся на бесконечности в нуль, есть

(30,12)

где - расстояние от точки, в которой мы ищем А (точка наблюдения), до элемента объема (см. II § 43). При применении операции к этому выражению следует помнить, что дифференцирование под знаком интеграла должно производиться по координатам точки наблюдения, от которых j не зависит, так что

где радиус-вектор R направлен из в точку наблюдения. Таким образом,

(30,13)

Если проводник, по которому течет ток, достаточно тонок (тонкий провод) и мы интересуемся лишь полем в окружающем его пространстве, то толщиной проводника можно пренебречь. В дальнейшем мы неоднократно будем рассматривать такие, как говорят, линейные токи. Интегрирование по объему проводника заменяется в этом случае интегрированием по его контуру. Именно, формулы для линейных токов получаются из формул, относящихся к объемным токам, заменой в последних

где J — полный ток, протекающий по проводнику. Так, из формул (30,12-13) получим

Вторая из этих формул выражает собой закон Био и Савара.

Такие простые формулы для магнитного поля линейных токов не связаны даже с требованием . Поскольку толщиной проводника мы пренебрегаем, то никаких граничных условий на его поверхности писать не надо и магнитные свойства его вещества вообще несущественны (оно может даже быть ферромагнитным).

Решение уравнения (30,6) для поля в окружающей проводник среде будет поэтому

для любого значения магнитной восприимчивости среды. Таким образом, наличие среды приводит лишь к изменению магнитной индукции в раз; напряженность же вообще не изменится.

Задача об определении магнитного поля линейных токов может решаться и как задача теории потенциала. Поскольку объемом проводников мы пренебрегаем, то фактически речь идет об определении поля в пространстве, во всем объеме которого (за исключением только особых линий — линейных токов) токи отсутствуют. Но в отсутствие токов постоянное магнитное поле обладает скалярным потенциалом, удовлетворяющим (в однородной среде) уравнению Лапласа. Между потенциалом магнитного поля и электрическим потенциалом имеется, однако, существенное различие. Потенциал электрического поля всегда является однозначной функцией. Это есть следствие того, что всем пространстве (в том числе и там, где имеются заряды), и потому изменение потенциала при обходе по любому замкнутому контуру (т. е. циркуляция Е по этому контуру) равно нулю. Циркуляция же магнитного поля по контуру, охватывающему собой линейный ток, отлична от нуля и равна Поэтому значение потенциала меняется на эту величину при всяком обходе вокруг линии тока, т. е. потенциал магнитного поля является многозначной функцией.

Если система токов сосредоточена в конечной области пространства (а как в проводниках, так и в среде), то вдали от нее векторный потенциал магнитного поля имеет вид

(30,16)

где

(30,17)

есть полный магнитный момент системы.

Для линейного тока это выражение принимает вид

и может быть преобразовано в интеграл по поверхности, ограниченной контуром тока.

Произведение равно по абсолютной величине площади треугольного элемента поверхности, построенного на векторах Векторный же интеграл не зависит от того, по какой именно поверхности (натянутой на заданный контур) он берется. Таким образом, магнитный момент замкнутого линейного тока равен

(30,18)

В частности, для плоского замкнутого линейного тока магнитный момент равен просто , где - площадь ограниченной током части плоскости.

В заключение этого параграфа остановимся еще на вопросе о потоке энергии в проводнике. Диссипируемая в проводнике (в виде джоулева тепла) энергия черпается из энергии электромагнитного поля. В стационарном случае уравнение непрерывности, выражающее собой закон сохранения энергии, имеет вид

(30,19)

где - плотность потока энергии. Последняя дается внутри проводника выражением

(30,20)

формально совпадающим с выражением для вектора Пойнтинга для поля в пустоте. В этом легко убедиться прямой проверкой: вычисление с использованием уравнений rotE=0 и (30,2) приводит к (30,19).

Независимо от этого вывода, формула (30,20) однозначно следует из очевидного условия непрерывности нормальной компоненты S на поверхности тела, если при этом учитывать непрерывность и и тот факт, что формула (30,20) справедлива в пустоте вне тела.