Главная > Теоретическая физика. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 30. Магнитное поле постоянных токов

Если в проводнике течет отличный от нуля полный ток, то средняя плотность тока в нем может быть представлена в виде суммы

Первый член, связанный с намагниченностью среды, не дает вклада в полный ток, так что полный перенос заряда через поперечное сечение тела определяется интегралом только от второго члена. Величину j называют плотностью тока проводимости. Именно к ней относится все сказанное в § 21, в частности, энергия, диссипируемая в единицу времени в единице объема, равна

Распределение тока j по объему проводника определяется указанными в § 21 уравнениями, в которые не входит создаваемое этими же токами магнитное поле (при условии пренебрежения влиянием поля на свойства проводимости самого металла). Поэтому задача об определении магнитного поля токов должна решаться по заданному распределению последних. Уравнения этого поля отличаются от полученных в § 29 уравнений наличием члена вместо нуля в правой части (29,7):

Плотность тока проводимости j, пропорциональная напряженности электрического поля, является величиной ограниченной, не обращающейся в бесконечность, в частности и на границе раздела двух сред. Поэтому наличие правой части в уравнении (30,2) не отражается на граничном условии непрерывности тангенциальных компонент Н.

Для решения уравнений (30,1-2) удобно ввести векторный потенциал А, положив

в результате чего уравнение (30,1) удовлетворяется тождественно.

Равенством (30,3) векторный потенциал еще К нему можно прибавить, не нарушая (30,3), любой вектор вида . Ввиду этой неоднозначности можно наложить на А одно дополнительное условие, в качестве которого выберем

Уравнение для А получается подстановкой (30,3) в (30,2). При линейной связи имеем

В таком виде это уравнение справедливо для любой неоднородной среды.

В однородной среде и поскольку , то уравнение (30,5) приводится к виду

Если же мы имеем дело с совокупностью двух или более различных соприкасающихся сред, каждая из которых обладает своей магнитной проницаемостью то общее уравнение (30,5) сводится к уравнению вида (30,6) внутри каждого из однородных тел, а на их границах должно выполняться условие непрерывности тангенциальных компонент вектора . Кроме того, должны быть непрерывными касательные компоненты самого вектора А, так как их скачок означал бы наличие на границе бесконечной индукции В.

Уравнения поля упрощаются для плоской задачи определения магнитного поля в среде, не ограниченной и однородной в одном направлении (которое мы примем в качестве направления оси z), причем создающие поле токи тоже направлены везде вдоль оси z, а их плотность есть функция только от х, у. Сделаем естественное (подтверждающееся результатом) предположение, что векторный потенциал такого поля тоже направлен вдоль оси (условие (30,4) удовлетворяется при этом автоматически), а магнитное поле соответственно везде параллельно плоскости ху. Обозначив посредством к единичный вектор вдоль оси z, имеем

Поэтому уравнение (30,5) приводится к виду

т. е. мы действительно получаем одно уравнение для одной скалярной величины .

Для кусочно-однородной среды (30,7) сводится к уравнению

с граничным условием непрерывности Ли — на поверхности раздела.

Магнитное поле определяется совсем элементарно, если распределение токов симметрично относительно оси ( — расстояние до оси ). Очевидно, что в этом случае магнитные силовые линии являются окружностями Абсолютная же величина поля непосредственно определяется из формулы

являющейся интегральной формулой уравнения (30,2). Именно,

(30,10)

где - полный ток, протекающий внутри окружности .

Сведение векторного уравнения (30,5) к одному скалярному уравнению возможно также и при аксиально-симметричном распределении круговых токов, т. е. при распределении, которое в цилиндрических координатах , имеет вид

Векторный потенциал ищем в виде ). При этом компоненты магнитной индукции

и - компонента уравнения (30,2) дает

Уравнения магнитного поля токов могут быть решены в общем виде в важном случае, когда магнитными свойствами среды можно пренебречь, т. е. можно положить везде Для векторного потенциала тогда во всем пространстве имеет место уравнение

без каких бы то ни было условий на границах раздела различных сред (в том числе на границе проводника, по которому течет ток). Решение этого уравнения, обращающееся на бесконечности в нуль, есть

(30,12)

где - расстояние от точки, в которой мы ищем А (точка наблюдения), до элемента объема (см. II § 43). При применении операции к этому выражению следует помнить, что дифференцирование под знаком интеграла должно производиться по координатам точки наблюдения, от которых j не зависит, так что

где радиус-вектор R направлен из в точку наблюдения. Таким образом,

(30,13)

Если проводник, по которому течет ток, достаточно тонок (тонкий провод) и мы интересуемся лишь полем в окружающем его пространстве, то толщиной проводника можно пренебречь. В дальнейшем мы неоднократно будем рассматривать такие, как говорят, линейные токи. Интегрирование по объему проводника заменяется в этом случае интегрированием по его контуру. Именно, формулы для линейных токов получаются из формул, относящихся к объемным токам, заменой в последних

где J — полный ток, протекающий по проводнику. Так, из формул (30,12-13) получим

Вторая из этих формул выражает собой закон Био и Савара.

Такие простые формулы для магнитного поля линейных токов не связаны даже с требованием . Поскольку толщиной проводника мы пренебрегаем, то никаких граничных условий на его поверхности писать не надо и магнитные свойства его вещества вообще несущественны (оно может даже быть ферромагнитным).

Решение уравнения (30,6) для поля в окружающей проводник среде будет поэтому

для любого значения магнитной восприимчивости среды. Таким образом, наличие среды приводит лишь к изменению магнитной индукции в раз; напряженность же вообще не изменится.

Задача об определении магнитного поля линейных токов может решаться и как задача теории потенциала. Поскольку объемом проводников мы пренебрегаем, то фактически речь идет об определении поля в пространстве, во всем объеме которого (за исключением только особых линий — линейных токов) токи отсутствуют. Но в отсутствие токов постоянное магнитное поле обладает скалярным потенциалом, удовлетворяющим (в однородной среде) уравнению Лапласа. Между потенциалом магнитного поля и электрическим потенциалом имеется, однако, существенное различие. Потенциал электрического поля всегда является однозначной функцией. Это есть следствие того, что всем пространстве (в том числе и там, где имеются заряды), и потому изменение потенциала при обходе по любому замкнутому контуру (т. е. циркуляция Е по этому контуру) равно нулю. Циркуляция же магнитного поля по контуру, охватывающему собой линейный ток, отлична от нуля и равна Поэтому значение потенциала меняется на эту величину при всяком обходе вокруг линии тока, т. е. потенциал магнитного поля является многозначной функцией.

Если система токов сосредоточена в конечной области пространства (а как в проводниках, так и в среде), то вдали от нее векторный потенциал магнитного поля имеет вид

(30,16)

где

(30,17)

есть полный магнитный момент системы.

Для линейного тока это выражение принимает вид

и может быть преобразовано в интеграл по поверхности, ограниченной контуром тока.

Произведение равно по абсолютной величине площади треугольного элемента поверхности, построенного на векторах Векторный же интеграл не зависит от того, по какой именно поверхности (натянутой на заданный контур) он берется. Таким образом, магнитный момент замкнутого линейного тока равен

(30,18)

В частности, для плоского замкнутого линейного тока магнитный момент равен просто , где - площадь ограниченной током части плоскости.

В заключение этого параграфа остановимся еще на вопросе о потоке энергии в проводнике. Диссипируемая в проводнике (в виде джоулева тепла) энергия черпается из энергии электромагнитного поля. В стационарном случае уравнение непрерывности, выражающее собой закон сохранения энергии, имеет вид

(30,19)

где - плотность потока энергии. Последняя дается внутри проводника выражением

(30,20)

формально совпадающим с выражением для вектора Пойнтинга для поля в пустоте. В этом легко убедиться прямой проверкой: вычисление с использованием уравнений rotE=0 и (30,2) приводит к (30,19).

Независимо от этого вывода, формула (30,20) однозначно следует из очевидного условия непрерывности нормальной компоненты S на поверхности тела, если при этом учитывать непрерывность и и тот факт, что формула (30,20) справедлива в пустоте вне тела.

1
Оглавление
email@scask.ru