§ 33. Энергия системы токов

Рассмотрим систему проводников с текущими по ним токами. Предположим, что ни сами проводники, ни среда, в которой они находятся, не ферромагнитны, так что везде Согласно § 31 полная свободная энергия системы выражается через создаваемое токами магнитное поле посредством

Мы опустили здесь постоянную (при заданной температуре тел) величину не имеющую отношения к токам. Интегрирование в (33,1) производится по всему пространству, как внутри, так и вне проводников.

Эту же энергию можно выразить и через токи интегралом

(ср. переход от (31,2) к (31,8)). Интегрирование производится здесь уже только по объему проводников, так как вне их

В силу линейности уравнений поля магнитное поле можно представить в виде суммы полей, которые создавались бы каждым током в отдельности, если бы в остальных проводниках токи отсутствовали: Тогда полная свободная энергия (33,1) примет вид

где

(в учтено, что , где - магнитная проницаемость в каждой данной точке пространства). Величину можно назвать собственной свободной энергией токов проводника, энергией взаимодействия проводников а и b. Надо, впрочем, иметь в виду, что такие названия имеют буквальный смысл, лишь если пренебречь магнитными свойствами вещества как самих проводников, так и среды. В противном случае поле (а потому и энергия) каждого тока зависит также и от расположения и магнитной проницаемости остальных проводников.

Величины (33,4) можно выразить также и через токи в каждом из проводников, в соответствии с формулой (33,2),

Интеграл в берется здесь только по объему проводника, а представляется в виде любого из двух выражений, в которых интегрирование производится соответственно по объему проводника а или b.

При заданном законе распределения плотности тока по объему проводника значение зависит только от полной силы тока протекающего через его поперечное сечение. При этом величине будут пропорциональны как плотность j, так и создаваемое током поле. Поэтому весь интеграл пропорционален . Его пишут в виде

где называют коэффициентом самоиндукции проводника. Аналогичным образом энергия взаимодействия двух токов пропорциональна произведению

Величину называют коэффициентом взаимной индукции проводников.

Таким образом, полная свободная энергия системы токов

Условие положительной определенности этой квадратичной формы накладывает ряд ограничений на значения коэффициентов. В частности, все а

Вычисление энергии токов в общем случае произвольных массивных проводников требует полного решения уравнений поля и представляет собой сложную задачу. Она упрощается, если магнитную проницаемость как самих проводников, так и среды можно положить равной единице. Отметим, что при этом энергия токов вообще перестает зависеть от термодинамического состояния (в частности, от температуры) тел, а потому во всех написанных выше формулах можно с одинаковым правом говорить как о свободной энергии, так и просто об энергии.

При векторный потенциал поля, создаваемого токами j, дается формулой (30,12). Поэтому для собственной энергии проводника получим

где оба интегрирования производятся по объему данного проводника, а R есть расстояние между Аналогичным образом, взаимная энергия двух проводников

(33,10)

где — элементы объема каждого из проводников.

Особенно просто вычисляется взаимная энергия двух линейных токов. Переход от объемных токов к линейным в формуле (33,10) осуществляется заменой соответственно на и мы находим, что коэффициент взаимной индукции есть

В этом приближении, следовательно, зависит только от формы, размеров и взаимного расположения обоих контуров и не зависит от распределения тока по сечению проводов. Подчеркнем, что для получения такой простой формулы в случае линейных проводников не требуется даже предположения о том, что везде . В приближении, в котором мы пренебрегаем толщиной проводов, магнитные свойства их материала вообще не влияют на создаваемое ими поле, а потому и на их взаимную энергию.

Отличная же от 1 магнитная проницаемость среды, окружающей провода, согласно (30,15) просто увеличивает в раз векторный потенциал (а с ним и индукцию) магнитного поля. Во столько же раз увеличится, следовательно, и коэффициент взаимной индукции, так что будет

(33,11)

Что касается коэффициента самоиндукции линейных проводников, то его вычисление представляет значительно большие трудности; этот вопрос будет рассмотрен в следующем параграфе.

Полную энергию системы линейных токов можно написать еще и в другом виде. Для этого вернемся к интегралу (33,2), который для линейных токов принимает вид

где А—векторный потенциал полного поля в точке проводника. Основная погрешность, которую мы допускаем при переходе от (33,2) к (33,12), заключается в пренебрежении изменением поля (в том числе собственного поля данного тока) вдоль поперечного сечения провода. Каждый из стоящих в (33,12) контурных интегралов преобразуется в интеграл по поверхности:

т. е. представляет собой поток магнитной индукции (или, как говорят, магнитный поток) через контур тока. Будем обозначать этот поток посредством Таким образом,

(33,13)

Аналогичным образом выражается через магнитный поток свободная энергия линейного тока J во внешнем магнитном поле, т. е. энергия, в которую не включается собственная энергия источников поля. Очевидно, что

(33,14)

где Ф есть поток внешнего поля через контур тока J. Если внешнее поле однородно (а у среды ), то Вводя магнитный момент тока согласно (30,18), получим

Зная энергию системы токов как функцию их размеров, формы и взаимного расположения, можно определить действующие на проводники силы просто путем дифференцирования по

При этом, однако, возникает вопрос о том, какие характеристики токов надо при дифференцировании полагать постоянными. Наиболее удобно производить вычисления при постоянных токах. Но в этом случае роль свободной энергии играет величина . Поэтому обобщенная сила действующая «вдоль» обобщенной координаты q, есть

Индексы у производной означают, что дифференцирование производится при постоянных силах тока и постоянной температуре тел. Поскольку мы опускаем в свободной энергии постоянную часть, не зависящую от токов, то различаются только знаком, так что

(индекс Т у производных здесь и ниже для краткости опускаем).

В частности, силы, действующие на проводник со стороны его собственного магнитного поля, определяются по формуле

где L — самоиндукция проводника. Характер действия этих сил заранее очевиден из следующих соображений. При заданном значении силы тока (и температуры) величина стремится к минимуму. Поскольку в данном случае то это значит, что действующие на проводник силы будут стремиться увеличить его коэффициент самоиндукции. Но последний как величина с размерностью длины пропорционален размерам проводника. Таким образом, под влиянием магнитного поля объем проводника увеличивается.

Для тока во внешнем магнитном поле имеем:

(33,17)

Во всех написанных выше формулах для энергии предполагается линейная связь между индукцией и напряженностью магнитного поля. В общем же случае произвольной связи можно установить аналогичные дифференциальные соотношения. Изменение свободной энергии при бесконечно малом изменении поля (при постоянной температуре) есть согласно (31,8)

или, для системы линейных токов,

Поступая далее так же, как при переходе от (33,12) к (33,13), получим

Аналогичным образом найдем из (31,9)

Можно сказать, что для системы линейных токов является термодинамическим потенциалом по отношению к магнитным потокам, отношению к силам токов, причем эти два потенциала связаны друг с другом посредством

(33,20)

Таким образом, при любых магнитных свойствах вещества справедливы термодинамические соотношения

Если применить эти формулы к случаю линейной связи, когда дается формулой (33,8), то мы получим

(33,22)

Таким образом, коэффициенты индукции оказываются коэффициентами пропорциональности между магнитным потоком и силами токов, создающих магнитное поле. Произведение есть магнитный поток, создаваемый током через контур тока - поток через тот же контур, создаваемый самим током .