§ 14. Положительность диэлектрической восприимчивости

Для выяснения характера зависимости термодинамических величин диэлектрика в поле от его диэлектрической проницаемости рассмотрим формальную задачу об изменении электрической части полной свободной энергии тела при бесконечно малом изменении .

Для изотропного (но не обязательно однородного) диэлектрика имеем согласно (10,20)

При изменении изменяется также и индукция поля. Поэтому рассматриваемая вариация свободной энергии равна

Первый член в правой части равенства совпадает с выражением (10,2) для работы, совершаемой при бесконечно малом изменении источников поля (зарядов проводников). Но в данном случае мы рассматриваем изменение поля при неизменных его источниках; поэтому этот член обращается в нуль, и мы получаем

Из этой формулы следует, что всякое увеличение диэлектрической проницаемости среды хотя бы в некотором ее участке (при неизменных источниках поля), приводит к уменьшению ее полной свободной энергии. В частности, можно утверждать, что свободная энергия всегда уменьшается при внесении в диэлектрическую среду незаряженных проводников, поскольку последние могут рассматриваться (в электростатике) как тела с бесконечно большой е. Это утверждение обобщает высказанную в § 2 теорему об уменьшении энергии электростатического поля в пустоте при внесении в него незаряженного проводника.

Полная свободная энергия уменьшается и когда какой-либо заряд подносится к диэлектрическому телу из бесконечности (что можно воспринимать как увеличение в некотором объеме поля вокруг заряда). Чтобы сделать отсюда заключение о том, что всякий заряд притягивается к диэлектрику, надо было бы, строго говоря, доказать еще, что не может достигнуть минимума ни при каком конечном расстоянии между зарядом и телом. Мы не станем останавливаться здесь на доказательстве этого утверждения, тем более, что появление сил притяжения между зарядом и диэлектриком можно рассматривать как довольно очевидный результат взаимодействия этого заряда с дипольным моментом поляризуемого им диэлектрика.

Непосредственно из формулы (14,1) можно сделать заключение о направлении движения диэлектрического тела в квазиоднородном поле, т. е. в поле, которое можно считать постоянным на протяжении размеров тела. В этом случае выносится из-под знака интеграла и разность есть отрицательная величина, пропорциональная . Стремясь занять положение, в котором его свободная энергия минимальна, тело будет, следовательно, перемещаться в направлении увеличения Е.

Независимо от формулы (14,1) можно показать, что полное изменение свободной энергии диэлектрического тела при внесении его в электрическое поле отрицательно. Это можно сделать с помощью термодинамической теории возмущений, рассматривая изменение свободной энергии тела как результат возмущения его квантовых уровней энергии внешним электрическим полем. Согласно этой теории имеем

(см. V (32,6)). Здесь Е — невозмущенные уровни, - матричные элементы возмущающей энергии, а черта обозначает статистическое усреднение с помощью распределения Гиббса

Член в формуле (14,2), линейный по полю, отличен от нуля только в пироэлектрических средах. Интересующее же нас квадратичное по полю изменение свободной энергии дается остальными членами этой формулы; их отрицательность очевидна.

С другой стороны, из самого вывода формулы (14,2) ясно, что полная свободная энергия должна пониматься в ней в указанном в § 11 смысле из нее исключена энергия поля, которое существовало бы в отсутствие тела. Поэтому разность дается термодинамической формулой (11,7). Рассмотрим тело в виде длинного цилиндра, расположенного вдоль однородного внешнего поля Тогда поле внутри цилиндра совпадает с , а его поляризация , так что

Отсюда следует, что разность будет отрицательна, только если . Мы приходим к упомянутому в § 7 и использованному уже ранее утверждению, что диэлектрическая проницаемость всякого тела больше единицы, т. е. его диэлектрическая восприимчивость положительна.

Таким же образом доказываются неравенства для главных значений тензора анизотропной диэлектрической среды. Для этого достаточно рассмотреть энергию поля, направленного вдоль каждой из трех главных осей.