§ 54. Сверхпроводящий ток

Рассмотрим более подробно некоторые свойства сверхпроводников, зависящие от их формы.

Если сверхпроводник представляет собой односвязное тело, то в отсутствие внешнего магнитного поля в нем вообще невозможно существование каких-либо стационарно протекающих поверхностных токов. В этом можно убедиться путем следующих рассуждений. Поверхностные токи создавали бы в окружающем тело пространстве постоянное магнитное поле, исчезающее на бесконечности. Как всякое постоянное магнитное поле в пустоте, оно было бы потенциальным, причем в силу граничных условий на сверхпроводнике нормальная производная потенциала на поверхности тела должна обращаться в нуль. Но из теории потенциала известно, что если на поверхности односвязного тела и на бесконечности, то во всем пространстве (вне тела). Таким образом, такое магнитное поле, а с ним и поверхностные токи не могут существовать.

Внешнее же магнитное поле индуцирует на поверхности односвязного сверхпроводника токи, что можно воспринимать как появление у тела как целого определенного магнитного момента. Это «намагничение» легко вычислить для сверхпроводника, имеющего эллипсоидальную форму.

Пусть -внешнее поле, параллельное одной из главных осей эллипсоида. Для магнитного поля внутри несверхпроводящего эллипсоида имеет место соотношение

где — коэффициент размагничивания вдоль данной оси (см. (29,14)). В сверхпроводнике «напряженность» Н не имеет, как уже было указано, физического смысла, а вместе с нею не имеет своего обычного смысла также и намагниченность . Тем не менее, в данном случае удобно ввести Н и М чисто формальным образом как вспомогательные величины, служащие для вычисления полного магнитного момента (V — объем эллипсоида), имеющего свой буквальный физический смысл.

Положив для сверхпроводящего эллипсоида , находим

и затем

В частности, для длинного цилиндра в продольном поле , так что . Эти значения таковы, как если бы тело обладало объемной диамагнитной восприимчивостью — .

Магнитное поле вне эллипсоида у его поверхности направлено везде по касательным, и поэтому его величина непосредственно определяется условием непрерывности тангенциальных составляющих Н. Внутри эллипсоида проектируя этот вектор на касательное направление, получим

где — угол между направлением внешнего поля b и нормалью в данной точке поверхности эллипсоида. Наибольшее значение Не имеет на экваторе эллипсоида, где оно равно — ).

Подчеркнем еще раз, что между токами, ответственными за «намагничение» сверхпроводника и создающими полный ток в нем, нет никакой принципиальной разницы: они имеют одинаковую физическую природу. Это обстоятельство позволяет, в частности, непосредственно определить гиромагнитные коэффициенты для любого сверхпроводника. Действительно, плотность импульса частиц (электронов), создающих намагничивающие токи, отличается от плотности этих токов лишь множителем ( — заряд и масса электрона). Ввиду определения гиромагнитных коэффициентов (см. (36,3)) отсюда сразу следует, что у сверхпроводника всегда

Перейдем к многосвязным сверхпроводникам. Их свойства существенно отличаются от свойств односвязных тел прежде всего потому, что к ним не относится вывод о невозможности стационарного протекания поверхностных токов в отсутствие внешнего магнитного поля. Более того, поверхностные токи не должны здесь взаимно компенсироваться и могут приводить к стационарному протеканию по телу полного сверхпроводящего тока в отсутствие приложенной извне электродвижущей силы.

Рассмотрим двусвязное тело (кольцо) в отсутствие внешнего магнитного поля и покажем, что его состояние вполне определяется заданием полного протекающего по нему тока J. Задача об определении создаваемого кольцом поля тоже может решаться как задача теории потенциала, но только потенциал будет теперь многозначной функцией, меняющейся на при обходе по любому замкнутому пути, проходящему через отверстие кольца (ср. § 30). Для того чтобы поставить задачу математически точно, надо произвести «разрез» пространства по какой-либо поверхности, закрывающей отверстие кольца. Тогда задача заключается в решении уравнения Лапласа с граничным условием на поверхности кольца, на бесконечности и с условием на поверхности разреза, где и - значения потенциала на двух сторонах последней. Такая задача, как известно из теории потенциала, имеет однозначное решение (не зависящее от формы выбранной поверхности разреза). По распределению же поля вблизи поверхности кольца однозначно определяется и распределение в нем поверхностных токов.

Вместе с распределением токов вполне определенной величиной оказывается коэффициент самоиндукции сверхпроводящего кольца. В этом отношении имеется существенное отличие от обычных проводников, в которых распределение токов, а с ним и точное значение самоиндукции, зависит от способа, которым был возбужден ток (§ 34).

В § 33 было введено понятие о магнитном потоке Ф через контур линейного проводника и было показано, что где L — самоиндукция проводника. Для сверхпроводящего же кольца понятие о магнитном потоке имеет смысл и при любой, не обязательно малой, толщине кольца. Действительно, в силу тангенциальности магнитного поля его поток через любую часть поверхности самого кольца равен нулю; поэтому величина магнитного потока через поверхность, закрывающую отверстие сверхпроводящего кольца, не зависит от выбора этой поверхности.

Более того, остается в силе также и формула

с самоиндукцией L, по-прежнему определенной по полной энергии магнитного поля тока.

Полная энергия магнитного поля

сверхпроводника дается интегралом , взятым по всему пространству вне тела. Производя, как указано выше, «разрез» пространства по некоторой поверхности С, вводим потенциал поля и пишем

Первый интеграл равен нулю, так как Второй же интеграл берется по бесконечно удаленной поверхности, по поверхности кольца и по обеим сторонам поверхности разреза; на первых двух подынтегральное выражение обращается в нуль, так что остается

где Ф — магнитный поток через поверхность С. Сравнивая это выражение с (по определению самоиндукции), получим искомое равенство (54,4).

Если кольцо находится во внешнем магнитном поле, то полный магнитный поток Ф складывается из собственного потока и потока Ф, от внешнего поля. Важное свойство сверхпроводящего кольца состоит в том, что при любом изменении внешнего поля и тока полный магнитный поток через кольцо остается постоянным;

(54,5)

Это следует непосредственно из интегральной формы уравнения Максвелла в пространстве вне тела:

Если производить интегрирование по поверхности С, закрывающей отверстие кольца, то контуром интегрирования в правой стороне равенства будет линия, проходящая по поверхности кольца. Но на поверхности сверхпроводника тангенциальная составляющая Е равна нулю (так как внутри сверхпроводника непрерывна на поверхности). Поэтому правая сторона равенства обращается в нуль и мы находим, что .

Соотношением (54,5) определяется изменение тока в кольце при изменении внешнего поля. Так, если кольцо было переведено в сверхпроводящее состояние во внешнем поле, создававшем поток и затем это поле выключается, то в кольце индуцируется стационарный ток, равный .

Постоянство магнитного потока через сверхпроводящее кольцо имеет место не только при изменении внешнего поля, но и при любом изменении формы кольца или его перемещении в пространстве. Можно сказать, что силовые линии никогда не могут пересекать поверхности сверхпроводника, а потому не могут «выйти» из отверстия сверхпроводящего кольца.

Изложенные результаты непосредственно обобщаются на случай сверхпроводящих тел любой степени связности, в том числе на совокупность любого числа колец. Состояние -связной системы в отсутствие внешнего поля полностью определяется заданием значений полных токов Соотношение же (54,5) обобщается в систему уравнений

Эти уравнения справедливы не только при любом изменении внешнего поля, но и при изменениях формы или взаимного расположения тел.

Задача

Определить магнитный момент сверхпроводящего диска в перпендикулярном к нему внешнем магнитном поле.

Решение. Задача о сверхпроводнике в постоянном магнитном поле формально совпадает с электростатической задачей для диэлектрика с диэлектрической проницаемостью Рассматривая диск как предел эллипсоида вращения при (ср. задачу 4 § 4) и воспользовавшись формулой (8,10) с соответствующим изменением обозначений (поле § вдоль оси ), получим